In 1984, Functionally graded Materi

In 1984, Functionally graded Materials (FGM) was proposed by a group of scientists in Sendai-Japan. With the advantageous features in many practical applications, FGMs have been extensively researched over the world by scientists with many various methods and focused on analysis of bending, torsion, stability and dynamic behavior of plate. For instance, Yung and Munz (1996) [1] used finite element method (FEM) and Mellin transform to analysis FG plate. Some examples are presented to show the good agreement of the stresses calculated from FEM and with the analytical description in a joint with graded material. Reddy (1998) [2] researched and developed formulas and theoretical calculations FG plates. The research used FEM to given some important applications of functional materials, analyze static and dynamic behavior of the FGM plates. After that, Reddy (2000) [3] used Navier’s solutions of rectangular plates, and finite element models based on the third order shear deformation plate theory. Numerical results of the linear third-order theory and non-linear first-order theory are presented to show the effect of the material distribution on the deflections and stresses. Woo and Megiud (2001) [4] used the Von-Karman theory for large deflection of plates and shallow shells made of FGM under transverse mechanical loads and temperature field. The result reveal that thermomechanical coupling effects play a major role in dictating the response of FG shell. Batra and Vel (2002) [5] has studied and obtained an exact solution for the three-dimensional deformation of a simply supported FG rectangular. This method is applied for both the thin plate and thick plate. Reseach are presented for two-constituent metal–ceramic functionally graded rectangular plates that have a power law through-the-thickness variation of the volume fractions of the constituents. The effective material properties at a point are estimated by either the Mori–Tanaka or the self-consistent schemes. Reseach are also computed for a functionally graded plate with material properties derived by the Mori–Tanaka method, the self-consistent scheme, and a combination of these two methods. Uymaz and Aydogdu (2007) [6] studied three-dimensional vibration solutions of the rectangular FG plates with different boundary conditions based on the small strain linear elasticity theory. The reseach used Ritz method with Chebyshev displacement functions to solve the vibration problem and investigated the effects of aspect and thickness ratios, and gradient index, on the free vibration frequencies. Kiani et al (2012) [7] studied static, dynamic, and free vibration analysis of a FG doubly curved panel on a Pasternak-type elastic foundation. Equations of motion are established based on the first order shear deformation and the modified Sanders shell theories. The solutions are obtained analytically in the Laplace domain and then are inverted to the time domain following an analytical procedure. Daouadji et al (2012) [8] investigated the static and dynamic behavior of the FGM plates using Navier’s solutions based on a new higher order shear deformation model. Numerical illustrations concern flexural behavior of FG plates with Metal–Ceramic composition. The mechanical properties of the plate are assumed to vary continuously in the thickness direction by a simple power-law distribution in terms of the volume fractions of the constituents. Hien and Noh (2013) [9] investigated an analysis scheme for the dynamic responses of functionally graded (FG) rectangular plates under moving loads by using the third-order shear deformation plate theory (TSDT). The equations of motion are derived by using Hamilton’s principle. In addition, the effects of the moving load and structural parameters on the dynamic responses of the plates are investigated as well.
In recent years, Lots of reseachs used FEM to studied FG plate, such as Talha and Singh (2010) [10] studied free vibration and static analysis of functionally graded material plates with different boundary conditions by using higher order shear deformation theory with a special modification in the transverse displacement in conjunction with finite element models. The reseach is observed that the natural frequency parameter increases for plate aspect ratio, lower volume fraction index n and smaller thickness ratios. It is also observed that the effect of thickness ratio on the frequency of a plate is independent of the volume fraction index. Ganapathib et al (2011) [11] investigated the nonlinear behaviors of functionally graded material (FGM) plates under transverse distributed load by using a high precision plate bending finite element. The formulation of reseach is developed based on the first-order shear deformation theory and follow a standard finite element procedure. The nonlinear governing equations are solved through Newton–Raphson iteration technique to predict the lateral pressure load versus central displacement relationship. Manish and Purohit (2014) [12] studied FG plate with varies volume fraction distributions and boundary conditions. By using FEM, The convergence study of the results is optimized by changing the mesh size and layer size. Ramu and Mohanty (2014) [13] used FEM to carry out modal analysis of a FG plate to determine its natural frequencies and mode shapes. The reseach used MATLAB software for modal analysis of FG plate and given some important result, such as the effect of volume fraction index and power law index on the FGM plate natural frequency and mode shapes with different boundary condition. Liu et al (2015) [14] investigated the cracks on FGM plates using FEM, three node triangular element and Reissner-Mindlin theory. The results are obtained some conclusions about the cracks of the FG plate and the effect of material on the cracks.
To analyze the behavior of FG plate on the Viscoelastic, Lots of methods have been devised to solve this problem, including the finite element method. However FEM method encountered problems when approaching marginal payload domain of finite elements and move beyond the border. All weak points of FEM method are depicted in Fig. 1. Therefore Koh et al. (2003) [15] proposed a one-dimensional moving element method (MEM) for train-track system, which is both relatively flexible and accurate. The method was subsequently applied to the analysis of in-plane dynamic response of annular disk [16] and moving loads on a viscoelastic half space This method has received much attention. Recently, Ang et al. [17] applied the MEM to investigate the “jumping wheel” phenomenon in high-speed train motion at constant velocity over a transition region where there is a sudden change of foundation stiffness. The phenomenon occurs when there is momentary loss of contact between train wheel and track. The effects of various key parameters such as speed of train, degree of track irregularity and degree of change of foundation stiffness at the transition region were examined and Track vibrations during accelerating and decelerating phases of high-speed rails. Xu et al. (2009) [18] used this method and developed it. In Xu’s article, the one-dimensional MEM proposed by Koh et al. is extended to two dimensional problem for which the vehicle moves on an infinite Kirchoff plate supported by Kelvin foundaiton. The equation of motion of the vehicle is first derived using co-ordinate system which moves with the vehicle, so that the corresponding dynamic problems can solve as a quasi-static one. It is shown that this give element stiffness matrix modified by superposition of terms which account for the velocity effects.. The advantage of MEM method are depicted in Fig. 2.

Kết quả (Việt) 1:

Năm 1984, chức năng xếp loại vật liệu (FGM) đã được đề xuất bởi một nhóm các nhà khoa học ở Sendai, Nhật bản. Với các tính năng thuận lợi trong nhiều ứng dụng thực tế, FGMs đã được rộng rãi nghiên cứu trên thế giới bởi các nhà khoa học với nhiều phương pháp khác nhau và tập trung vào phân tích của uốn, xoắn, ổn định và các hành vi động của mảng. Ví dụ, Yung và Munz (1996) [1] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và Mellin biến đổi để phân tích FG tấm. Một số ví dụ được trình bày để hiển thị thỏa thuận tốt của những căng thẳng tính từ FEM và với các mô tả phân tích trong một phần với phân loại vật liệu. Reddy (1998) [2] nghiên cứu và phát triển công thức và tính toán lý thuyết FG tấm. Nghiên cứu sử dụng FEM để cho một số ứng dụng quan trọng của vật liệu chức năng, phân tích hành vi tĩnh và năng động của các mảng FGM. Sau đó, Reddy (2000) [3] của sử dụng Navier giải pháp tấm hình chữ nhật, và các phần tử hữu hạn mô hình dựa trên phát hành theo lý thuyết thứ ba thứ tự cắt biến dạng tấm. Số kết quả của lý thuyết thứ ba-thứ tự tuyến tính và phi tuyến đầu tiên để lý thuyết được trình bày để hiển thị các hiệu ứng của nguyên liệu thô trên deflections và căng thẳng. Woo và Megiud (2001) [4] sử dụng lý thuyết Von Karman cho các độ lệch lớn của tấm và nông vỏ làm bằng FGM dưới ngang tải cơ khí và nhiệt độ lĩnh vực. Kết quả cho thấy rằng thermomechanical khớp nối tác dụng đóng một vai trò quan trọng trong dictating các phản ứng của FG vỏ. Batra và Vel (2002) [5] đã học và thu được một giải pháp chính xác cho biến dạng ba chiều của một hình chữ nhật FG chỉ đơn giản là được hỗ trợ. Phương pháp này được áp dụng cho tấm mỏng và mạ. Reseach được trình bày cho hai thành phần kim loại-gốm chức năng xếp loại hình chữ nhật tấm có một quyền lực pháp luật thông qua độ dày biến thể của các phần phân đoạn khối lượng của các thành phần. Thuộc tính tài liệu có hiệu quả tại nhiệt độ được ước tính bởi Mori-Tanaka hoặc các chương trình tự phù hợp. Reseach được tính cũng với tính chất vật chất bằng phương pháp Mori-Tanaka, các chương trình tự phù hợp và sự kết hợp của hai phương pháp cho một mảng chức năng xếp loại. Uymaz và Aydogdu (2007) [6] học ba chiều rung động giải pháp FG tấm hình chữ nhật với điều kiện ranh giới khác nhau dựa trên lý thuyết tuyến tính đàn hồi nhỏ căng thẳng. Reseach sử dụng phương pháp Ritz với Chebyshev di chuyển chức năng để giải quyết vấn đề rung động và điều tra những ảnh hưởng của khía cạnh và độ dày tỷ lệ, và chỉ số gradient, tần số rung động miễn phí. Kiani et al (2012) [7] nghiên cứu rung động tĩnh, năng động và miễn phí phân tích của một bảng điều khiển FG gấp đôi cong trên một nền tảng Pasternak kiểu đàn hồi. Phương trình của chuyển động được thành lập dựa trên các biến dạng đầu tiên cắt trật tự và lý thuyết lần vỏ Sanders. Các giải pháp thu được phân tích trong miền Laplace và sau đó là đảo ngược để miền thời gian theo một thủ tục phân tích. Daouadji et al (2012) [8] điều tra các hành vi tĩnh và năng động của các mảng FGM sử dụng Navier của giải pháp dựa trên một cao thứ tự cắt biến dạng mô hình mới. Số minh họa quan tâm flexural hành vi của FG tấm với thành phần kim loại-gốm. Các tính chất cơ học của mảng được giả định thay đổi liên tục theo hướng độ dày của một phân phối điện-luật đơn giản trong điều khoản của các phần phân đoạn khối lượng của các thành phần. Hiền và kịch Nō (2013) [9] điều tra một chương trình phân tích cho các phản ứng năng động của tấm hình chữ nhật (FG) chức năng xếp loại dưới di chuyển tải bằng cách sử dụng lý thuyết tấm biến dạng thứ ba-thứ tự cắt (TSDT). Phương trình của chuyển động có nguồn gốc bằng cách sử dụng các nguyên tắc của Hamilton. Ngoài ra, những ảnh hưởng của các tham số chuyển động tải và kết cấu các phản ứng năng động của các mảng đang điều tra là tốt.Những năm gần đây, rất nhiều reseachs sử dụng FEM nghiên cứu FG tấm, chẳng hạn như Talha, Singh (2010) [10] nghiên cứu miễn phí rung động và tĩnh phân tích chức năng phân loại vật liệu tấm với điều kiện ranh giới khác nhau bằng cách sử dụng cao thứ tự cắt biến dạng lý thuyết với một sửa đổi đặc biệt trong trọng lượng rẽ nước ngang cùng với mô hình phần tử hữu hạn. Reseach quan sát thấy rằng các tham số tự nhiên tần số tăng cho tỷ lệ khía cạnh tấm, khối lượng thấp hơn phần chỉ số n và nhỏ hơn dày tỷ lệ. Nó cũng quan sát thấy rằng các hiệu ứng của độ dày tỷ lệ trên tần số của một tấm là độc lập của các chỉ số phần nhỏ khối lượng. Ganapathib et al (2011) [11] điều tra các hành vi phi tuyến của chức năng xếp loại vật liệu (FGM) tấm nhỏ hơn tải phân phối ngang bằng cách sử dụng một tấm độ chính xác cao uốn phần tử hữu hạn. Xây dựng reseach được phát triển dựa trên thứ tự đầu tiên cắt biến dạng lý thuyết và thực hiện theo một thủ tục tiêu chuẩn phần tử hữu hạn. Các phương trình phi tuyến quản được giải quyết thông qua Newton-Raphson lặp kỹ thuật để dự đoán bên áp tải so với mối quan hệ của Trung tâm di chuyển. Hiền, Purohit (2014) [12] nghiên cứu FG tấm với thay đổi khối lượng phần phân phối và điều kiện biên. Bằng cách sử dụng FEM, nghiên cứu hội tụ của các kết quả tối ưu hóa bằng cách thay đổi kích thước lưới và kích thước lớp. Ramu và Mohanty (2014) [13] sử dụng FEM để thực hiện phương thức phân tích của một tấm FG để xác định tần số tự nhiên và chế độ hình dạng của nó. Reseach sử dụng MATLAB phần mềm cho các phân tích cách thức của FG tấm và đưa ra một số kết quả quan trọng, chẳng hạn như ảnh hưởng của khối lượng phần chỉ số và điện pháp luật chỉ mục trên FGM tấm tự nhiên tần số và chế độ hình dạng với điều kiện ranh giới khác nhau. Lưu et al (2015) [14] điều tra các vết nứt trên FGM tấm bằng cách sử dụng FEM, ba nút hình tam giác phần tử và lý thuyết Reissner-Mindlin. Các kết quả thu được một số kết luận về các vết nứt của tấm FG và tác dụng của tài liệu trên các vết nứt. Để phân tích hành vi của FG tấm trên Viscoelastic, rất nhiều phương pháp đã được đưa ra để giải quyết vấn đề này, bao gồm cả phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên, phương pháp FEM gặp vấn đề khi tiếp cận biên tải trọng miền của yếu tố hữu hạn và di chuyển vượt ra ngoài biên giới. Tất cả các điểm yếu của phương pháp FEM được mô tả trong hình 1. Do đó Koh et al. (2003) [15] đề xuất một chiều di chuyển phương pháp phần tử (MEM) cho hệ thống đào tạo theo dõi, mà là cả hai tương đối linh hoạt và chính xác. Các phương pháp sau đó được áp dụng cho các phân tích của phản ứng năng động trong máy bay của hình khuyên đĩa [16] và di chuyển tải trên một không gian một nửa viscoelastic này phương pháp đã nhận được nhiều sự chú ý. Gần đây, Ang et al. [17] áp dụng MEM để điều tra hiện tượng "nhảy bánh xe" ở tốc độ cao tàu chuyển động tại vận tốc không đổi trong một khu vực chuyển tiếp nơi có một sự thay đổi đột ngột của nền tảng cứng. Hiện tượng xảy ra khi mất tạm thời của số liên lạc giữa xe lửa bánh xe và theo dõi. Những ảnh hưởng của thông số quan trọng khác nhau chẳng hạn như tốc độ đào tạo, mức độ bất thường theo dõi và mức độ của sự thay đổi của nền tảng cứng tại vùng chuyển tiếp đã được kiểm tra và theo dõi các rung động trong việc thúc đẩy và decelerating các giai đoạn của đường ray tốc độ cao. Xu et al. (năm 2009) [18] sử dụng phương pháp này và phát triển nó. Trong bài viết của Xu, MEM hết được đề xuất bởi Koh et al. kéo dài đến hai vấn đề chiều mà chiếc xe di chuyển trên một mảng Kirchoff vô hạn được hỗ trợ bởi Kelvin foundaiton. Phương trình của chuyển động của chiếc xe đầu tiên có nguồn gốc bằng cách sử dụng hệ thống phối hợp mà di chuyển với chiếc xe, do đó, rằng các vấn đề năng động tương ứng có thể giải quyết như một quasi-tĩnh một. Chúng tôi hiển thị này cho nguyên tố cứng ma trận sửa đổi theo chồng chập của điều khoản mà tài khoản cho các hiệu ứng tốc độ... Lợi thế của phương pháp MEM được mô tả ở hình 2.

Kết quả (Việt) 2:

Vật liệu trong năm 1984, theo chức năng được phân loại (FGM) đã được đề xuất bởi một nhóm các nhà khoa học ở Sendai-Nhật Bản. Với các tính năng thuận lợi trong nhiều ứng dụng thực tế, FGMs đã được nghiên cứu rộng rãi trên thế giới bởi các nhà khoa học với nhiều phương pháp khác nhau và tập trung vào phân tích các uốn cong, xoắn, ổn định và hành vi động của tấm. Ví dụ, Yung và Munz (1996) [1] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và Mellin biến để phân tích tấm FG. Một số ví dụ được trình bày cho thấy sự đồng thuận tuyệt vời của ứng suất tính từ FEM và với mô tả phân tích trong một doanh với các tài liệu đã được phân loại. Reddy (1998) [2] công thức nghiên cứu và phát triển và tính toán lý thuyết tấm FG. Nghiên cứu sử dụng FEM để đưa ra một số ứng dụng quan trọng của vật liệu chức năng, phân tích hành vi tĩnh và động của các tấm FGM. Sau đó, Reddy (2000) [3] được sử dụng các giải pháp Navier của tấm hình chữ nhật, và các mô hình phần tử hữu hạn dựa trên thứ tự cắt lý thuyết tấm biến dạng thứ ba. Kết quả số của lý thuyết thứ ba để tuyến tính và lý thuyết đầu tiên để phi tuyến tính được trình bày cho thấy tác động của sự phân bố vật chất trên các đường cong trên và nhấn mạnh. Woo và Megiud (2001) [4] được sử dụng các lý thuyết Von-Karman cho võng lớn của tấm và vỏ nông làm bằng FGM theo tải trọng cơ khí ngang và trường nhiệt độ. Kết quả cho thấy tác dụng khớp nối cơ nhiệt đóng một vai trò quan trọng trong mệnh lệnh phản ứng của vỏ FG. Batra và Vel (2002) [5] đã nghiên cứu và thu được một giải pháp chính xác cho các biến dạng ba chiều của một hình chữ nhật FG chỉ đơn giản được hỗ trợ. Phương pháp này được áp dụng cho cả các tấm mỏng và dày. Nghiên cứu được trình bày cho chức năng phân loại các tấm hình chữ nhật hai thành phần kim loại-gốm có một định luật thông qua-the-độ dày dao động của các phân số khối lượng của các thành phần. Các đặc tính vật liệu hiệu quả tại một điểm được ước tính bằng cách hoặc là Mori-Tanaka các đề án tự phù hợp. Nghiên cứu cũng được tính cho một tấm chức năng phân loại với tính chất vật liệu có nguồn gốc theo phương pháp Mori-Tanaka, các chương trình tự phù hợp, và sự kết hợp của hai phương pháp này. Uymaz và Aydogdu (2007) [6] đã nghiên cứu các giải pháp rung ba chiều của các tấm FG hình chữ nhật với điều kiện biên khác nhau dựa trên sự căng thẳng nhỏ lý thuyết đàn hồi tuyến tính. Các reseach sử dụng phương pháp Ritz với chức năng chuyển Chebyshev để giải quyết vấn đề rung động và nghiên cứu ảnh hưởng của tỷ lệ khía cạnh và độ dày, và chỉ số gradient, trên tần số rung động miễn phí. Kiani et al (2012) [7] nghiên cứu tĩnh, năng động, và tự do phân tích độ rung của một FG panel kép cong về một Pasternak loại nền đàn hồi. Phương trình chuyển động được thành lập trên cơ sở đầu tiên để biến dạng trượt và các lý thuyết vỏ Sanders sửa đổi. Các giải pháp thu được phân tích trong miền Laplace và sau đó được đảo ngược đến miền thời gian sau một thủ tục phân tích. Daouadji et al (2012) [8] điều tra hành vi tĩnh và động của các tấm FGM sử dụng giải pháp của Navier dựa trên một cao hơn mô hình biến dạng để cắt mới. Minh họa bằng số liên quan đến hành vi uốn của tấm FG với thành phần kim loại-Ceramic. Các tính chất cơ học của các tấm được giả định khác nhau liên tục theo hướng độ dày của một phân bố năng lượng pháp luật đơn giản về các phần khối lượng của các thành phần. Hiền và Noh (2013) [9] đã nghiên cứu một đề án phân tích cho các phản ứng năng động của chức năng phân loại (FG) tấm hình chữ nhật dưới chuyển tải bằng cách sử dụng các bậc ba tấm cắt biến dạng lý thuyết (TSDT). Các phương trình của chuyển động đều bắt nguồn bằng cách sử dụng nguyên tắc của Hamilton. Ngoài ra, những tác động của tải trọng di chuyển và các thông số kết cấu trên các phản ứng năng động của các tấm được điều tra là tốt.
Trong những năm gần đây, rất nhiều reseachs sử dụng FEM để tấm FG nghiên cứu, chẳng hạn như Talha và Singh (2010) [10] nghiên cứu rung động miễn phí và phân tích tĩnh của tấm vật liệu có chức năng phân loại với điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng để cắt cao hơn với một sửa đổi đặc biệt trong việc di chuyển ngang kết hợp với mô hình phần tử hữu hạn. Các reseach được quan sát thấy rằng sự gia tăng tần số tự nhiên tham số cho tỉ lệ tấm, khối lượng thấp hơn chỉ số phân số n và tỷ lệ độ dày nhỏ hơn. Nó cũng được quan sát thấy rằng tác động của tỷ lệ độ dày trên các tần số của một tấm là độc lập với chỉ số khối lượng phân số. Ganapathib et al (2011) [11] điều tra các hành vi phi tuyến của vật liệu có chức năng phân loại (FGM) Tấm dưới ngang tải phân phối bằng cách sử dụng một tấm có độ chính xác cao uốn phần tử hữu hạn. Việc xây dựng reseach được phát triển dựa trên thứ tự đầu tiên lý thuyết cắt biến dạng và làm theo một thủ tục yếu tố tiêu chuẩn hữu hạn. Các phi tuyến quản phương trình được giải quyết thông qua Newton-Raphson lặp kỹ thuật để dự đoán tải áp lực bên theo mối quan hệ di dời trung tâm. Manish và Purohit (2014) [12] nghiên cứu tấm FG với thay đổi sự phân bố khối lượng phần và điều kiện biên. Bằng cách sử dụng FEM, Nghiên cứu sự hội tụ của các kết quả được tối ưu hóa bằng cách thay đổi kích thước mắt lưới và quy mô lớp. Ramu và Mohanty (2014) [13] được sử dụng FEM để thực hiện phân tích phương thức của một tấm FG để xác định tần số tự nhiên của nó và hình dạng chế độ. Các reseach sử dụng phần mềm MATLAB để phân tích phương thức của các tấm FG và đưa ra một số kết quả quan trọng, chẳng hạn như ảnh hưởng của khối lượng chỉ số phân số và chỉ số định luật trên tấm FGM tần số tự nhiên và hình thức với điều kiện biên khác nhau. Liu et al (2015) [14] điều tra các vết nứt trên tấm FGM sử dụng FEM, ba nút phần tử tam giác và lý thuyết Reissner-Mindlin. Các kết quả thu được một số kết luận về các vết nứt của tấm FG và tác dụng của vật liệu trên các vết nứt.
Để phân tích hành vi của tấm FG trên viscoelastic, Rất nhiều phương pháp đã được đưa ra để giải quyết vấn đề này, bao gồm cả phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên phương pháp FEM gặp phải vấn đề khi tiếp cận miền payload biên của phần tử hữu hạn và di chuyển vượt ra ngoài biên giới. Tất cả các điểm yếu của phương pháp FEM được mô tả trong hình. 1. Vì vậy Koh et al. (2003) [15] đã đề xuất một phương pháp một chiều di chuyển phần tử (MEM) cho hệ thống đào tạo theo dõi, mà là cả tương đối linh hoạt và chính xác. Phương pháp này sau đó đã được áp dụng để phân tích trong mặt phẳng phản ứng năng động của đĩa hình khuyên [16] và tải di chuyển trên một không gian nửa viscoelastic phương pháp này đã nhận được nhiều sự chú ý. Gần đây, Ang et al. [17] áp dụng các MEM để điều tra "nhảy bánh xe" hiện tượng ở tốc độ cao chuyển động tàu với vận tốc không đổi trên một vùng chuyển tiếp, nơi có một sự thay đổi đột ngột của độ cứng nền tảng. Hiện tượng xảy ra khi có sự mất thời tiếp xúc giữa bánh xe lửa và theo dõi. Những ảnh hưởng của các thông số quan trọng khác nhau như tốc độ của tàu, mức độ theo dõi bất thường và mức độ thay đổi của móng cứng ở vùng chuyển tiếp đã được kiểm tra và theo dõi rung động trong quá trình tăng tốc và giảm tốc giai đoạn của tốc độ cao đường ray. Xu et al. (2009) [18] sử dụng phương pháp này và phát triển nó. Trong bài viết của Xu, các MEM một chiều được đề xuất bởi Koh et al. được mở rộng tới vấn đề hai chiều mà các phương tiện di chuyển trên một tấm Kirchoff vô hạn được hỗ trợ bởi Kelvin foundaiton. Các phương trình chuyển động của chiếc xe đầu tiên được bắt nguồn bằng cách sử dụng hệ thống phối hợp trong đó di chuyển với chiếc xe, vì vậy mà các vấn đề động tương ứng có thể giải quyết như một quasi-static. Nó được thể hiện rằng đây ma trận độ cứng phần tử Give sửa đổi bởi sự chồng chất của các điều khoản mà tài khoản cho các hiệu ứng vận tốc .. Ưu điểm của phương pháp MEM được mô tả trong hình. 2.