For example, if v(·) = dist(x, ·) t

For example, if v(·) = dist(x, ·) then flux
∂Br
v ≤ S(x, r) and Theorem 7.5 follows from Theorem 7.6.
Proof. If (7.16) holds then, by (7.6), cap(Br) = 0 and M is parabolic, by Theorem 5.1(6). Note that in
contrast to Theorem 7.5, we do not need here that M is geodesically complete because the sets Br are
automatically precompact, by the definition of an exhaustion function.
Assume now that M is parabolic. Then there is an exhaustion sequence of precompact open sets {Ek}
such that

Kết quả (Việt) 1:

Ví dụ, nếu v(·) = dist (x, ·) sau đó flux
∂Br
v ≤ S (x, r) và định lý 7,5 theo định lý 7.6.
bằng chứng. Nếu (7.16) tổ chức sau đó, bởi (7.6), cap(Br) = 0 và M là parabol, bởi định lý 5.1(6). Lưu ý rằng trong
tương phản để định lý 7.5, chúng tôi không cần ở đây rằng M là geodesically hoàn thành bởi vì các tập Br là
tự động precompact, bởi definition của một chức năng kiệt sức.
Bây giờ giả sử rằng M là parabol. Sau đó, có một chuỗi kiệt sức của precompact tập mở {Ek}
như vậy mà

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ, nếu v (·) = quận (x, ·) sau đó tuôn ra
∂ Br
v ≤ S (x, r) và Định lý 7.5 sau từ Định lý 7.6.
Proof. If (7.16) nắm giữ sau đó, bởi (7.6), mũ (Br) = 0 và M là parabol, bởi lý 5.1 (6). Lưu ý rằng trong
trái ngược với định lý 7.5, chúng ta không cần ở đây là M là geodesically hoàn toàn vì bộ Br là
tự động precompact, theo định nghĩa của một chức năng kiệt sức.
Bây giờ giả sử M là parabol. Sau đó có một chuỗi cạn kiệt bộ mở precompact {} Ek
như vậy mà