Given a group G and two elements g,

Given a group G and two elements g,h ∈ G, the discrete logarithm problem asks for an exponent x such that that gx = h. What does it mean to talk about the difficulty of this problem? How can we quantify “hard”? A natural measure of hardness is the approximate number of operations necessary for a person or a computer to solve the problem using the most efficient method currently known. For example, suppose that we count the process of computing gx as a single operation. Then a trial-and-error approach to solving the discrete logarithm problem would be to compute gx for each x = 1,2,3,... and compare the values with h. If g has order n, then this algorithm is guaranteed to find the solution in at most n operations, but if n is large, say n > 280, then it is not a practical algorithm with the computing power available today.
In practice, unless one were to build a special-purpose machine, the process of computing gx should not be counted as a single basic operation. Using the fast exponentiation method described in Section 1.3.2, it takes a small multiple of log2(x) modular multiplications to compute gx. Suppose that n and x are kbit numbers, that is, they are each approximately 2k. Then the trial-and-error approach actually requires about k•2k multiplications. And if we are working in the group and if we treat modular addition as the basic operation, then modular multiplication of two k-bit numbers takes (approximately) k2 basic operations, so now solving the DLP by trial and error takes a small multiple of k2 • 2k basic operations.
We are being somewhat imprecise when we talk about “small multiples” of 2k or k • 2k or k2 • 2k. This is because when we want to know whether a computation is feasible, numbers such as 3 • 2k and 10 • 2k and 100 • 2k mean pretty much the same thing if k is large. The important property is that the constant multiple is fixed as k increases. Order notation was invented to make these ideas precise. It is prevalent throughout mathematics and computer science and provides a handy way to get a grip on the magnitude of quantities.

Kết quả (Việt) 1:

Cho một nhóm G và hai yếu tố g, h ∈ G, vấn đề lôgarit rời rạc yêu cầu cho một số mũ x sao cho rằng gx = h. Nói về những khó khăn trong vấn đề này có nghĩa là gì? Làm thế nào chúng tôi có thể định lượng "cứng" Một biện pháp tự nhiên của độ cứng là gần đúng số hoạt động cần thiết cho một người hoặc một máy tính để giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng phương pháp hiệu quả nhất hiện nay được biết đến nhất. Ví dụ, giả sử rằng chúng tôi truy cập quá trình tính toán gx là một hoạt động đơn lẻ. Sau đó, một phương pháp thử nghiệm và báo lỗi để giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc sẽ là tính toán gx cho mỗi x = 1,2,3,... và so sánh các giá trị với h. Nếu g có bậc n, sau đó thuật toán này được đảm bảo để tìm ra giải pháp tối đa n hoạt động, nhưng nếu n là lớn, nói n > 280, sau đó nó không phải là một thuật toán thực tế với tính năng hiện nay.Trong thực tế, trừ khi một là để xây dựng một máy chuyên dụng, quá trình tính toán gx nên không được tính là một hoạt động cơ bản duy nhất. Sử dụng các phương pháp nhanh lũy thừa được mô tả trong phần 1.3.2, phải mất một nhiều nhỏ của log2(x) multiplications mô-đun để tính toán gx. Giả sử rằng n và x là kbit số, có nghĩa là, họ là mỗi khoảng 2k. Sau đó các phương pháp thử nghiệm và báo lỗi thực sự yêu cầu về k•2k multiplications. Và nếu chúng tôi đang làm việc trong nhóm và nếu chúng tôi xử lý mô-đun bổ sung như thao tác cơ bản, sau đó mô-đun nhân của hai k-bit số mất (khoảng) k2 hoạt động cơ bản, vì vậy bây giờ giải quyết DLP của thử nghiệm và báo lỗi mất một nhiều nhỏ của k2 • 2k hoạt động cơ bản.Chúng tôi đang phần nào không chính xác khi chúng tôi nói chuyện về "bội số nhỏ" của 2k hoặc k • 2k hoặc k2 • 2k. Điều này là bởi vì khi chúng tôi muốn biết liệu một tính toán là khả thi, số điện thoại chẳng hạn như 3 2 k và 10 • 2 k và 100 • 2 k có nghĩa là khá nhiều điều tương tự nếu k là lớn. Các tài sản quan trọng là liên tục nhiều cố định như k tăng. Ký hiệu lệnh được phát minh để làm cho những ý tưởng chính xác. Nó là phổ biến trong khoa học máy tính và toán học và cung cấp một cách thuận tiện để có được một va li về độ lớn của số lượng.

Kết quả (Việt) 2:

Với một nhóm G và hai yếu tố g, h ∈ G, các bài toán logarit rời rạc yêu cầu một số mũ x như vậy mà rằng gx = h. Có nghĩa là những gì để nói về những khó khăn của vấn đề này? Làm thế nào chúng ta có thể định lượng "cứng"? Một biện pháp tự nhiên của độ cứng là số gần đúng của các hoạt động cần thiết cho một người hoặc một máy tính để giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng phương pháp hiệu quả nhất hiện nay được biết đến. Ví dụ, giả sử rằng chúng ta đếm quá trình tính toán gx là một hoạt động đơn lẻ. Sau đó, một cách tiếp cận thử nghiệm và báo lỗi để giải quyết các bài toán logarit rời rạc sẽ được tính toán cho từng gx x = 1,2,3, ... và so sánh các giá trị với h. Nếu g có thứ tự n, sau đó thuật toán này được đảm bảo để tìm ra giải pháp trong hầu hết các hoạt động tại n, nhưng nếu n là lớn, nói n> 280, sau đó nó không phải là một thuật toán thực tế với sức mạnh tính toán hiện nay.
Trong thực tế, trừ khi một là để xây dựng một máy chuyên dụng, quá trình tính toán gx không nên được tính là một hoạt động cơ bản duy nhất. Sử dụng phương pháp lũy thừa nhanh chóng được mô tả trong mục 1.3.2, phải mất một nhiều nhỏ log2 (x) phép nhân mô-đun để tính gx. Giả sử rằng n và x là số kbit, đó là, họ đang từng khoảng 2k. Sau đó, các phương pháp thử nghiệm và báo lỗi thực sự đòi hỏi về k • 2k phép nhân. Và nếu chúng ta đang làm việc trong nhóm và nếu chúng ta đối xử với modul nữa như các hoạt động cơ bản, sau đó nhân mô-đun của hai số k-bit mất (ước tính) hoạt động cơ bản k2, vì vậy bây giờ giải quyết DLP bằng cách thử và lỗi mất nhiều nhỏ k2 • hoạt động 2k cơ bản.
Chúng tôi đang là một chút không chính xác khi chúng ta nói về "bội nhỏ" của 2k hay k • 2k hoặc k2 • 2k. Điều này là bởi vì khi chúng ta muốn biết liệu một tính toán có tính khả thi, chẳng hạn như số 3 • 2k và 10 • 2k và 100 • 2k có nghĩa là khá nhiều điều tương tự nếu k là lớn. Các tài sản quan trọng là nhiều hằng số được xác định như k tăng. Ký hiệu theo thứ tự đã được phát minh ra để thực hiện những ý tưởng chính xác. Nó là phổ biến khắp toán học và khoa học máy tính và cung cấp một cách tiện dụng để có được một va li về độ lớn của số lượng.