5.14 ExercisesExercise 5.1 Adapt th

5.14 Exercises

Exercise 5.1 Adapt the synchronous BFS spanning tree algorithm (Algorithm 5.1) to satisfy the following properties:
1. The root node can detect once the entire algorithm has terminated. The root should then terminate.
2. Each node is able to identify its child nodes without using any additional messages.
3. A process exits after the round in which it sets its parent variable. What is the resulting space, time, and message complexity in each case?
Exercise 5.2 What is the exact number of messages sent in the spanning tree algorithm (Algorithm 5.2)? You may want to use additional parameters to characterize the graph. Is it possible to reduce the number of messages to exactly 2l?
Exercise 5.3 Modify Algorithm 5.2 to obtain a BFS tree with the asynchronous system, while retaining the framework of the flooding mechanism.
Exercise 5.4 Modify the asynchronous spanning tree algorithm (Algorithm 5.2) to eliminate the use of REJECT messages. What is the message overhead of the modified algorithm?
Exercise 5.5 What is the maximum distance between any two nodes in the tree obtained by running Algorithm 5.3?
Exercise 5.6 For Algorithm 5.3, show each of the performance complexities intro- duced in Section 5.3.
Exercise 5.7 For Algorithm 5.4, show each of the performance complexities intro- duced in Section 5.3.
Exercise 5.8 (Based on Cheung [7]) Simplify Algorithm 5.4 to deal with only a single initiator. What is the message complexity and the time complexity of the resulting algorithm?
Exercise 5.9 (Based on [2]) Modify the algorithm derived in Exercise 5.8 to obtain a depth-first search tree but with time complexity O(n). (Assuming a single intiator for simplicity does not reduce the time complexity. A different strategy needs to be used.)
Exercise 5.10 Formally write the convergecast algorithm of Section 5.5.5 using the style for the other algorithms in this chapter.
Modify your algorithm to satisfy the following property. Each node has a sensed temperature reading. The maximum temperature reading is to be collected by the root.
Exercise 5.11 Modify the synchronous flooding algorithm (Algorithm 5.10) so as to reduce the complexity, assuming that all the processes only need to know the highest process identifier among all the processes in the network. For this adapted algorithm, what are the lowered complexity measures?
Exercise 5.12 Adapt Algorithms 5.5 and 5.10 to design a synchronous algorithm that achieves the following property: “in each round, each node may or may not generate a new update that it wants to distribute throughout the network. If such an update



is locally generated within a round, it should be synchronously propagated in the network.”
Exercise 5.13 In the synchronous distributed Bellman–Ford algorithm (Algo- rithm 5.5), the termination condition for the algorithm assumed that each process knew the number of nodes in the graph. If this number is not known, what can be done to find it?
Exercise 5.14 In the asynchronous Bellman–Ford algorithm (Algorithm 5.6), what can be said about the termination conditions when (i) n is not known, and when (ii) n is known?
For each of these two cases, modify the asynchronous Bellman–Ford algorithm to allow each process to determine when to terminate.
Exercise 5.15 Modify the asynchronous Bellman–Ford algorithm (Algorithm 5.6) to devise the distance vector routing algorithm outlined in Section 5.5.7.

Exercise 5.16 For the asynchronous Bellman–Ford algorithm (Algorithm 5.6), show that it has an exponential K(cn) number of messages and exponential K(cn • d) time
complexity in the worst case, where c is some constant [25].
Exercise 5.17 For the asynchronous Bellman–Ford algorithm (Algorithm 5.6), if all links are assumed to have equal weight, the algorithm effectively computes the minimum-hop path. Show that under this assumption, the minimum-hop routing tables
to all destinations are computed using O(n2 • l) messages.
Exercise 5.18 For the asynchronous Bellman–Ford algorithm (Algorithm 5.6):
1. If some of the links may have negative weights, what would be the impact on the shortest paths? Explain your answer.
2. If the link weights can keep changing (as in the Internet), can cycles be formed during routing based on the computed next hop?

Exercise 5.19 In the distributed Floyd–Warshall algorithm (Algorithm 5.8), consider iteration k at node i and iteration k + 1 at node j. Examine the dependencies in the
code of i and j in these two iterations.
Exercise 5.20 In the distributed Floyd–Warshall algorithm (Algorithm 5.8):
1. Show that the parameter pivot is redundant on all the message types when the communication channels are FIFO.
2. Show that the parameter pivot is required on all the message types when the communication channels are non-FIFO.
Exercise 5.21 In the synchronous distributed GHS algorithm (Algorithm 5.11), it was assumed that all the edge weights were unique. Explain why this assumption was necessary, and give a way to make the weights unique if they are not so.
Exercise 5.22 In the synchronous GHS MST algorithm, prove that when several components join to form a single component, there must exist a cycle of length two in the component graph of MWOE edges.

Exercise 5.23 Identify how the complexity of the synchronous GHS algorithm can be reduced from O((n +|L|)log n) to O((n log n) +|L|). Explain and prove your answer.

Kết quả (Việt) 1:

5.14 bài tậpTập thể dục 5.1 Adapt đồng bộ BFS bao trùm cây thuật toán (thuật toán 5.1) để đáp ứng các thuộc tính sau:1. nút gốc có thể phát hiện một khi các thuật toán toàn bộ đã kết thúc. Gốc nên sau đó chấm dứt.2. mỗi nút có thể xác định các nút con mà không sử dụng bất kỳ thông báo bổ sung.3. một quá trình ra khỏi sau khi vòng trong đó nó là tập hợp của nó biến phụ huynh. Kết quả không gian, thời gian và tin nhắn phức tạp trong mỗi trường hợp là gì?Tập thể dục 5.2 con số chính xác của tin nhắn được gửi trong các thuật toán cây khung (thuật toán 5.2) là gì? Bạn có thể muốn sử dụng tham số bổ sung để mô tả các đồ thị. Có thể để giảm số lượng thư để chính xác 2l?Tập thể dục 5.3 Sửa đổi thuật toán 5.2 để có được một cây BFS với hệ thống không đồng bộ, trong khi giữ lại khuôn khổ của cơ chế lũ lụt.Tập thể dục 5.4 sửa đổi không đồng bộ khung cây thuật toán (thuật toán 5.2) để loại bỏ việc sử dụng của từ chối thư. Chi phí thông báo của các thuật toán lần là gì?Tập thể dục 5.5 khoảng cách tối đa giữa hai nút trong cây thu được bằng cách chạy thuật toán 5.3 là gì?Tập thể dục 5.6 cho thuật toán 5.3, Hiển thị mỗi người trong số các hoạt động phức tạp giới thiệu - duced trong phần 5.3.Tập thể dục 5.7 cho thuật toán 5.4, Hiển thị mỗi người trong số các hoạt động phức tạp giới thiệu - duced trong phần 5.3.Tập thể dục 5.8 (dựa trên Cheung [7]) Simplify Algorithm 5.4 để đối phó với chỉ là một khởi sự duy nhất. Sự phức tạp thư và sự phức tạp thời gian của các thuật toán kết quả là gì?Tập thể dục 5,9 (dựa trên [2]) sửa đổi các thuật toán có nguồn gốc ở 5.8 tập thể dục để có được một cây tìm kiếm theo chiều sâu nhưng với thời gian phức tạp O(n). (Giả định một intiator duy nhất để đơn giản không làm giảm sự phức tạp thời gian. Một chiến lược khác nhau cần phải được sử dụng.)Tập thể dục 5,10 chính thức viết các thuật toán convergecast của phần 5.5.5 bằng cách sử dụng phong cách cho các thuật toán khác trong chương này.Sửa đổi thuật toán của bạn để đáp ứng các tài sản. Mỗi nút có một cảm nhận nhiệt độ đọc. Đọc nhiệt độ tối đa là để được thu thập bởi gốc.Tập thể dục 5,11 sửa đổi thuật toán lũ lụt đồng bộ (thuật toán 5,10) để giảm sự phức tạp, giả sử rằng tất cả các quá trình chỉ cần biết các định danh quá trình cao nhất trong số tất cả các quá trình trong mạng. Để điều chỉnh thuật toán này, các biện pháp giảm độ phức tạp là gì?Tập thể dục 5.12 thuật toán Adapt 5.5 và 5,10 để thiết kế một thuật toán đồng bộ đạt được tài sản sau: "trong mỗi vòng, mỗi nút có thể hoặc có thể không tạo ra một cập nhật mới mà nó muốn phân phối trên toàn mạng. Nếu một bản Cập Nhật được tạo ra tại địa phương trong một vòng, nó nên được đồng bộ phổ biến trong mạng. "Phân phối các tập thể dục 5.13 trong đồng bộ các thuật toán Bellman-Ford (Algo-rithm 5.5), chấm dứt tình trạng cho các thuật toán giả định rằng mỗi quá trình biết số lượng các nút trong biểu đồ. Nếu số này không được biết đến, những gì có thể được thực hiện để tìm thấy nó?Tập thể dục 5.14 trong các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (thuật toán 5.6), những gì có thể nói về các điều kiện chấm dứt khi (i) n không được biết đến, và khi (ii) n được biết đến?Đối với mỗi của hai trường hợp, sửa đổi các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ để cho phép mỗi quá trình để xác định khi nào để chấm dứt.Tập thể dục 5,15 sửa đổi các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (thuật toán 5.6) để đưa ra khoảng cách vector thuật toán định tuyến được nêu trong phần 5.5.7.Tập thể dục 5,16 cho các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (thuật toán 5.6), Hiển thị rằng nó có mũ K(cn) số tin nhắn và mũ K (cn • d) thời gianphức tạp trong trường hợp xấu nhất, nơi c là một số liên tục [25].Các tập thể dục 5.17 cho các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (thuật toán 5.6), nếu tất cả liên kết được giả định có trọng lượng tương đương, các thuật toán có hiệu quả tính đường dẫn tối thiểu-hop. Thấy rằng theo giả định này, các bảng định tuyến tối thiểu-hopđể tất cả các điểm được tính bằng cách sử dụng tin nhắn O (n2 • l).Tập thể dục 5,18 cho các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (thuật toán 5.6):1. nếu một số các liên kết có thể có trọng lượng tiêu cực, điều gì sẽ tác động trên đường đi ngắn nhất? Giải thích câu trả lời của bạn.2. nếu trọng lượng liên kết có thể tiếp tục thay đổi (như trong Internet), chu kỳ có thể được hình thành trong quá trình định tuyến dựa trên tính hop tiếp theo?Các tập thể dục 5.19 trong các thuật toán Floyd-Warshall phân phối (thuật toán 5.8), xem xét việc lặp k tại nút i và lặp đi lặp lại k + 1 tại nút j. kiểm tra phụ thuộc vào cácmã của i và j trong những lặp đi lặp lại hai.Tập thể dục 5,20 trong các thuật toán Floyd-Warshall phân phối (thuật toán 5.8):1. cho thấy rằng các tham số trục là dư thừa trên tất cả các loại thông báo khi các kênh giao tiếp là FIFO.2. cho thấy rằng các tham số trục là cần thiết trên tất cả các loại thông báo khi các kênh truyền thông phòng không FIFO.Tập thể dục 5.21 trong đồng bộ phân phối GHS thuật toán (thuật toán 5,11), nó giả định rằng tất cả các trọng lượng cạnh được duy nhất. Giải thích tại sao giả định này là cần thiết, và đưa ra một cách để làm cho trọng lượng duy nhất nếu không phải như vậy.Tập thể dục 5,22 trong thuật toán GHS MST đồng bộ, chứng minh rằng khi một số thành phần tham gia để tạo thành một thành phần duy nhất, có phải tồn tại một chu kỳ của chiều dài hai đồ thị thành phần của MWOE cạnh.Tập thể dục 5.23 xác định như thế nào phức tạp của các thuật toán GHS đồng bộ có thể được giảm từ O ((n +| L|) đăng nhập n) để O ((n log n) + | L|). Giải thích và chứng minh câu trả lời của bạn.

Kết quả (Việt) 2:

5.14 Bài tập Bài tập 5.1 Điều chỉnh BFS đồng bộ bắc qua thuật toán cây (Algorithm 5.1) để đáp ứng các đặc tính sau đây: 1. Nút gốc có thể phát hiện một lần toàn bộ thuật toán đã chấm dứt. Các gốc sau đó sẽ thoát ra. 2. Mỗi nút là có thể xác định các nút con của nó mà không cần sử dụng bất kỳ thông báo bổ sung. 3. Một quá trình thoát ra sau khi các vòng trong mà nó đặt biến cha của nó. Không gian kết quả, thời gian, và độ phức tạp thông điệp trong mỗi trường hợp là gì? Tập thể dục 5.2 chính xác số lượng tin nhắn được gửi trong thuật toán cây khung (Algorithm 5.2) là gì? Bạn có thể muốn sử dụng tham số bổ sung để mô tả đồ thị. Là nó có thể làm giảm số tin nhắn được chính xác 2l? Tập thể dục 5.3 Sửa Algorithm 5.2 để có được một cây BFS với các hệ thống không đồng bộ, trong khi vẫn giữ khuôn khổ các cơ chế lũ lụt. Tập thể dục 5.4 Sửa đổi không đồng bộ bắc qua thuật toán cây (Algorithm 5.2) loại bỏ việc sử dụng các REJECT tin nhắn. Overhead nhắn của thuật toán biến đổi là gì? Tập thể dục 5.5 Khoảng cách tối đa giữa bất kỳ hai nút trong cây thu được bằng cách chạy thuật toán 5.3 là gì? Tập thể dục 5.6 Đối với Algorithm 5.3, cho thấy sự phức tạp của mỗi hiệu suất intro- duced tại mục 5.3. Tập thể dục 5.7 Đối với Algorithm 5.4, cho thấy sự phức tạp của mỗi hiệu suất intro- duced tại mục 5.3. Tập thể dục 5.8 (Dựa trên Cheung [7]) Đơn giản hóa Algorithm 5.4 để đối phó với chỉ một người khởi xướng duy nhất. Sự phức tạp nhắn và độ phức tạp của thuật toán kết quả là gì? Tập thể dục 5.9 (Dựa trên [2]) Sửa đổi các thuật toán phát sinh trong bài tập 5.8 để có được một cây tìm kiếm theo chiều sâu nhưng với thời gian phức tạp O (n). (Giả sử một intiator đơn cho đơn giản không làm giảm sự phức tạp thời gian. Một chiến lược khác nhau cần phải được sử dụng.) Tập thể dục 5.10 Chính thức viết thuật toán convergecast Mục 5.5.5 bằng cách sử dụng phong cách cho các thuật toán khác trong chương này. Sửa đổi thuật toán của bạn để thoả mãn tính sau. Mỗi nút có một đọc nhiệt độ cảm nhận. Bài đọc nhiệt độ tối đa là được thu thập bởi các gốc. Tập thể dục 5,11 Sửa đổi các thuật toán ngập lụt đồng bộ (Algorithm 5.10) để giảm bớt sự phức tạp, giả định rằng tất cả các quy trình chỉ cần biết chính xác quá trình cao nhất trong số tất cả các quá trình trong hệ thống mạng . Đối với thuật toán thích nghi này, các biện pháp phức tạp hạ là gì? Thận 5,12 Adapt Algorithms 5.5 và 5.10 để thiết kế một thuật toán đồng bộ mà đạt được các tài sản sau: "trong mỗi vòng, mỗi nút có thể có hoặc có thể không tạo ra một bản cập nhật mới mà nó muốn phân phối trên toàn mạng. Nếu một bản cập nhật đó là địa phương được tạo ra trong vòng một vòng, nó phải được đồng bộ tuyên truyền trong mạng. "Tập thể dục 5.13 Trong phân bố thuật toán Bellman-Ford đồng bộ (Algo- rithm 5.5), các điều kiện chấm dứt cho các thuật toán giả định rằng mỗi quá trình biết số nút trong đồ thị. Nếu con số này không được biết, những gì có thể được thực hiện để tìm nó? Tập thể dục 5.14 Trong các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (Algorithm 5.6), những gì có thể nói về các điều kiện chấm dứt khi (i) số lượng không được biết đến, và khi nào (ii ) n được biết đến? Đối với mỗi hai trường hợp, sửa đổi các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ để cho phép mỗi tiến trình để xác định khi chấm dứt. Tập thể dục 5,15 Sửa đổi các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (Algorithm 5.6) để đưa ra các thuật toán vector khoảng cách định tuyến vạch tại mục 5.5.7. Tập thể dục 5.16 Đối với các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (Algorithm 5.6), cho thấy rằng nó có một K (cn) số mũ của các thông điệp và mũ K (cn • d) thời gian phức tạp trong trường hợp xấu nhất, nơi c là một số không đổi [25]. Tập thể dục 5.17 Đối với sự không đồng bộ thuật toán Bellman-Ford (Algorithm 5.6), nếu tất cả các liên kết được cho là có trọng lượng bằng nhau, các thuật toán hiệu quả tính toán con đường tối thiểu-hop. Cho thấy theo giả định này, các bảng định tuyến tối thiểu-hop đến tất cả các điểm được tính bằng cách sử dụng O (n2 • l) các tin nhắn. Tập thể dục 5.18 Đối với các thuật toán Bellman-Ford không đồng bộ (Algorithm 5.6): 1. Nếu một số liên kết có thể có trọng lượng tiêu cực, những gì sẽ là ảnh hưởng trên những con đường ngắn nhất? Giải thích câu trả lời của bạn. 2. Nếu các trọng số liên kết có thể tiếp tục thay đổi (như trong mạng Internet), chu kỳ có thể được hình thành trong quá trình định tuyến dựa trên các tính toán hop tiếp theo? Tập thể dục 5.19 Trong các Thuật toán Floyd-Warshall phân phối (Algorithm 5.8), xem xét lặp k tại nút i và lặp k + 1 tại nút j. Kiểm tra sự phụ thuộc vào các mã của i và j trong hai lần lặp này. Tập thể dục 5.20 Trong các Thuật toán Floyd-Warshall phân phối (Algorithm 5.8): 1. Cho thấy các trục tham số là không cần thiết trên tất cả các loại tin nhắn khi các kênh truyền thông là FIFO. 2. Cho thấy các trục tham số được yêu cầu trên tất cả các loại tin nhắn khi các kênh truyền thông đều là phòng không FIFO. Tập thể dục 5.21 Trong các thuật toán phân phối đồng bộ GHS (Algorithm 5.11), nó được giả định rằng tất cả các trọng rìa có phải là duy nhất. Giải thích lý do tại sao giả định này là cần thiết, và đưa ra một cách để làm cho trọng lượng duy nhất nếu họ không phải là như vậy. Tập thể dục 5.22 Trong các thuật toán GHS MST đồng bộ, chứng minh rằng khi một số thành phần để tạo thành một thành phần duy nhất là phải có một chu kỳ dài hai trong đồ thị thành phần của các cạnh MWOE. Tập thể dục 5,23 Xác định như thế nào sự phức tạp của GHS thuật toán đồng bộ có thể giảm từ O ((n + | L |) log n) với O ((n log n) + | L |). Giải thích và chứng minh câu trả lời của bạn.