In abelian groups, topology can be

In abelian groups, topology can be introduced in various ways which are
natural in one sense or another. These topologies are not necessarily Hausdorff;
some of them do not even make the group operations continuous. The
importance of topologies in abelian groups will be evident from subsequent
developments.
The most important topologies to be considered here are linear topologies;
that is to say, there is a base [fundamental system] of neighborhoods about 0
which consists of subgroups such that the cosets of these subgroups form a
base of open sets. In order to formulate our definition in a reasonably general
fashion, let us start with a dual ideal (i.e.,filter) D in the lattice L(A) of all
subgroups of A, and declare the subgroups U of A in D as a base of open
neighborhoods about 0. Then the cosets a + U ( U E D) will be a base of
open sets about a. Because the intersection of two cosets (al + U,) n (a, + U,)
is vacuous or a coset mod U, n U,, and U, n U, E D whenever U,, U, E D,
all the open sets will be unions of cosets a + U with U E D. The continuity
of the group operations is obvious from the simple observation that
x - y E a + U implies (x + U ) - ( y + U ) c a + U. We call the arising
topology the D-topology of A. Obviously, it is Hausdorfs if and only if
n u=o,
U E D
and discrete exactly if 0 E D.
Occasionally, one has a topology which satisfies the first axiom of countability,
i.e., there is a countable base of open neighborhoods about 0. If
U,, U2 , . . . , U,, , * . * is such a system of neighborhoods, then U,, U, n U, ,
. - - ,U , n 1 . . n U,, . * * is also one; thus, in this case we may without loss
of generality assume the sequence decreasing.
An open subgroup B is necessarily closed. Indeed, its complement in the
group is the union of its cosets a + B (a $ B ) ; these are open and so is their
union. Hence the subgroups U E D are both open and closed. Therefore:

Kết quả (Việt) 1:

Trong các nhóm abelian, cấu trúc liên kết có thể được giới thiệu trong nhiều cách khác nhau màtự nhiên trong một cảm giác này hay cách khác. Các topo là không nhất thiết phải là Hausdorff;một số người trong số họ không thậm chí thực hiện các hoạt động nhóm liên tục. Cáctầm quan trọng của topo trong nhóm abelian sẽ được hiển nhiên từ tiếp theosự phát triển.Topo quan trọng nhất để được xem xét ở đây là topo tuyến tính;đó là để nói, có là một cơ sở [cơ bản hệ thống] khu dân cư về 0trong đó bao gồm nhóm con sao cho hiệu hình thức nhóm con mộtcơ sở tập mở. Để xây dựng chúng tôi định nghĩa trong một hợp lý chungthời trang, chúng ta hãy bắt đầu với một lý tưởng kép (i.e.,filter) D trong lưới L(A) của tất cảCác nhóm con của A, và tuyên bố các nhóm con U A rê là một cơ sở mởkhu dân cư về 0. Sau đó các hiệu một + U (U E D) sẽ là một cơ sở củamở bộ về một. Bởi vì giao điểm của hai cosets (al + U,) n (một, + U,)là trống rông hoặc một coset mod U, n U, và U, n U, E D bất cứ khi nào U,, U, E D,Tất cả các tập mở sẽ là các công đoàn của hiệu một + U với U E mất Tính liên tụccủa nhóm hoạt động là rõ ràng từ các quan sát đơn giản màx - y E một + U ngụ ý (x + U) - (y + U) c một + U. Chúng tôi gọi những phát sinhcấu trúc liên kết cấu trúc liên kết D của A. rõ ràng, nó là Hausdorfs nếu và chỉ nếun u = o,U E Dvà rời rạc chính xác nếu 0 E mấtThỉnh thoảng, một có một cấu trúc liên kết đó thỏa mãn tiên đề đầu tiên của countability,Ví dụ, có là một cơ sở đếm được của các khu phố mở về 0. NếuU,, U2 , . . . , U,, , * . * là một hệ thống của khu vực lân cận, sau đó U,, U, n U,. --, U, n 1. . n U. ** cũng là một; Vì vậy, trong trường hợp này chúng tôi có thể mà không làm mấtcủa quát giả định thứ tự giảm.Một nhóm con mở B nhất thiết phải đóng cửa. Thật vậy, bổ ngữ của nó trong cácNhóm là công đoàn của nó hiệu một + B (một B $); những mở và do đó là của họLiên minh. Do đó các nhóm con U E D là cả hai mở và đóng cửa. Vì vậy:

Kết quả (Việt) 2:

Trong nhóm abelian, topology có thể được giới thiệu trong nhiều cách khác nhau mà là
tự nhiên trong một ý nghĩa nào đó. Những cấu trúc liên kết là không nhất thiết phải Hausdorff;
một số trong số họ thậm chí không làm cho các hoạt động nhóm liên tục. Các
tầm quan trọng của cấu trúc liên kết trong nhóm abelian sẽ được hiển nhiên từ sau
phát triển.
Các cấu trúc liên kết quan trọng nhất để được xem xét ở đây là topo tuyến tính;
đó là để nói, có một cơ sở [hệ thống cơ bản] của khu phố về 0
trong đó bao gồm các phân nhóm như vậy mà cosets các nhóm này tạo thành một
cơ sở của bộ mở. Để xây dựng định nghĩa của chúng tôi trong một cách hợp lý nói chung
thời trang, chúng ta hãy bắt đầu với một lý tưởng kép (ví dụ, bộ lọc) D trong L lưới (A) của tất cả các
phân nhóm A, và tuyên bố các phân nhóm U của A trong D như là một cơ sở mở
các khu phố về 0. Sau đó cosets a + U (UED) sẽ là cơ sở của
bộ mở về một. Bởi vì các giao điểm của hai cosets (al + U,) n (a, + U,)
là ngớ ngẩn hoặc một coset mod U, U n ,, và U, U n, ED bất cứ khi nào U ,, U, ED,
tất cả các mở bộ sẽ được công đoàn của một cosets + U với UE D. Tính liên tục
của hoạt động nhóm là rõ ràng từ việc quan sát đơn giản mà
x - y E a + U ám (x + U) - (y + U) ca + U. Chúng tôi gọi phát sinh
topology của D-topology của A. Rõ ràng, đó là Hausdorfs khi và chỉ khi
nu = o,
UED
và rời rạc chính xác nếu 0 E D.
Thỉnh thoảng, một có một topo đó đáp ứng các tiên đề đầu tiên của countability,
tức là, có là một cơ sở đếm được của các khu phố mở về 0. Nếu
U ,, U2,. . . , U ,,, *. * Là một hệ thống như các khu vực lân cận, sau đó U ,, U, U
n,,. - -, U, n 1. . n U ,,. * * Cũng là một; do đó, trong trường hợp này chúng ta có thể mà không mất
tính tổng quát giả sử chuỗi giảm.
An mở phân nhóm B được thiết đóng cửa. Thật vậy, bổ sung của nó trong
nhóm là công đoàn của cosets của nó a + B (một $ B); đây là mở và như vậy là họ
công đoàn. Do đó các phân nhóm UED đều mở cửa và đóng cửa. Do đó: