So far we have discovered that for

So far we have discovered that for the difference equation (19.2), the point y = 1 is a steady-state point no matter what the value of α. We have also found that it appears to be a stable steady-state point (i.e., yt converges to it from any y0 > 0) when α = −1/2 or 1/2 but is unstable when α = −2 or 2. It would be useful if we could draw conclusions about the stability of the point y¯ = 1 for any value of α without having to resort to a phase diagram each time. Fortunately there
is a way to do this, not just for this example but for any autonomous, nonlinear difference equation. The key, as hinted at above, is the slope of the graph in the phase diagram as it intersects the 45◦ line. A steady-state point is stable if and only if the absolute value of this slope is less than 1 at y¯. Because the slope of the function as it cuts the 45◦ line is just the derivative of f evaluated at y¯, we can state this result as follows:

Kết quả (Việt) 1:

Cho đến nay chúng tôi đã phát hiện ra rằng cho sự khác biệt phương trình (19.2), điểm y = 1 là một trạng thái ổn định không có vấn đề gì giá trị α. Chúng tôi cũng đã tìm thấy rằng nó dường như là một trạng thái ổn định ổn định điểm (tức là, yt hội tụ để nó từ bất kỳ y0 > 0) khi α = −1/2 hoặc 1/2, nhưng là không ổn định khi α = −2 hoặc 2. Nó sẽ là hữu ích nếu chúng tôi có thể rút ra kết luận về sự ổn định của điểm y¯ = 1 cho bất kỳ giá trị số α mà không cần phải nhờ đến một biểu đồ pha mỗi lần. May mắn thay cólà một cách để làm điều này, không chỉ dành cho ví dụ này nhưng đối với bất kỳ phương trình phi tuyến, tự trị khác biệt. Chìa khóa, là ám chỉ ở trên, là độ dốc của đồ thị trong biểu đồ pha như nó giao cắt đường 45◦. Một trạng thái ổn định điểm là ổn định nếu và chỉ nếu giá trị tuyệt đối của dốc này là ít hơn 1 lúc y¯. Vì độ dốc của các chức năng như nó cắt giảm các dòng 45◦ chỉ đạo hàm của f đánh giá tại y¯, chúng tôi có thể nhà nước kết quả này như sau:

Kết quả (Việt) 2:

Cho đến nay chúng tôi đã phát hiện ra rằng trong phương trình khác nhau (19.2), các điểm y = 1 là một điểm trạng thái ổn định không có vấn đề gì giá trị của α. Chúng tôi cũng thấy rằng nó dường như là một điểm trạng thái ổn định ổn định (tức là, yt tụ đến nó từ bất kỳ y0> 0) khi α = -1/2 hoặc 1/2 nhưng không ổn định khi α = -2 hoặc 2. nó sẽ là hữu ích nếu chúng ta có thể rút ra kết luận về sự ổn định của các điểm y = 1 đối với bất kỳ giá trị của α mà không cần phải nhờ đến một giai đoạn sơ đồ mỗi lần. May mắn thay có
một cách để làm điều này, không chỉ là ví dụ này nhưng đối với bất kỳ, phương trình phi tuyến khác biệt tự trị. Chìa khóa, như đề nghị ở trên, là độ dốc của đồ thị trong giai đoạn sơ đồ như nó giao với đường 45◦. Một điểm trạng thái ổn định là ổn định nếu và chỉ nếu giá trị tuyệt đối của độ dốc này là ít hơn 1 tại Ý. Bởi vì độ dốc của các chức năng như nó cắt dòng 45◦ chỉ là đạo hàm của f đánh giá ở Ý, chúng ta có thể nêu kết quả này như sau: