Let us apply the iterative-improvem

Let us apply the iterative-improvement technique to the maximumcardinality-
matching problem. Let M be a matching in a bipartite graph G =
V, U, E. How can we improve it, i.e., find a new matching with more edges?
Obviously, if every vertex in either V or U is matched (has a mate), i.e., serves as
an endpoint of an edge in M, this cannot be done and M is a maximum matching.
Therefore, to have a chance at improving the current matching, both V and U
must contain unmatched (also called free) vertices, i.e., vertices that are not incident
to any edge in M. For example, for the matching Ma
= {(4, 8), (5, 9)} in the
graph in Figure 10.9a, vertices 1, 2, 3, 6, 7, and 10 are free, and vertices 4, 5, 8,
and 9 are matched.
Another obvious observation is that we can immediately increase a current
matching by adding an edge between two free vertices. For example, adding (1, 6)
to the matching Ma
= {(4, 8), (5, 9)} in the graph in Figure 10.9a yields a larger
matching Mb
= {(1, 6), (4, 8), (5, 9)} (Figure 10.9b). Let us now try to find a
matching larger than Mb by matching vertex 2. The only way to do this would
be to include the edge (2, 6) in a new matching. This inclusion requires removal of
(1, 6), which can be compensated by inclusion of (1, 7) in the new matching. This
new matching Mc
= {(1, 7), (2, 6), (4, 8), (5, 9)} is shown in Figure 10.9c.
In general, we increase the size of a current matching M by constructing a
simple path from a free vertex in V to a free vertex inU whose edges are alternately
in E −M and in M. That is, the first edge of the path does not belong to M, the
second one does, and so on, until the last edge that does not belong to M. Such a
path is called augmenting with respect to the matching M. For example, the path
2, 6, 1, 7 is an augmenting path with respect to the matching Mb in Figure 10.9b.
Since the length of an augmenting path is always odd, adding to the matching M
the path’s edges in the odd-numbered positions and deleting from it the path’s
edges in the even-numbered positions yields a matching with one more edge than
in M. Such a matching adjustment is called augmentation. Thus, in Figure 10.9,
the matching Mb was obtained by augmentation of the matching Ma along the
augmenting path 1, 6, and the matching Mc was obtained by augmentation of the
matchingMb along the augmenting path 2, 6, 1, 7. Moving further, 3, 8, 4, 9, 5, 10
is an augmenting path for the matching Mc (Figure 10.9c). After adding to Mc
the edges (3, 8), (4, 9), and (5, 10) and deleting (4, 8) and (5, 9), we obtain the
matching Md
= {(1, 7), (2, 6), (3, 8), (4, 9), (5, 10)} shown in Figure 10.9d.

Kết quả (Việt) 1:

Hãy cho chúng tôi áp dụng các kỹ thuật cải thiện lặp đi lặp lại cho maximumcardinality-phù hợp với vấn đề. Giả sử M là một kết hợp trong một đồ thị hai phía G = V, U, E. Làm thế nào chúng tôi có thể cải thiện nó, tức là, tìm thấy một kết hợp mới với thêm cạnh?Rõ ràng, nếu mỗi đỉnh V hoặc U kết hợp (có một mate), tức là, phục vụ nhưmột điểm cuối của một cạnh trong M, điều này không thể được thực hiện và M là một phù hợp với tối đa.Do đó, có một cơ hội cải thiện các kết hợp hiện tại, V và Uphải chứa chưa từng có (còn gọi là miễn phí) đỉnh, ví dụ, đỉnh mà không phải là sự cốđể bất kỳ cạnh trong M. Ví dụ, cho phù hợp với Ma= {(4, 8), (5, 9)} trong cácđồ thị trong con số 10.9a, đỉnh 1, 2, 3, 6, 7 và 10 là miễn phí, và đỉnh 4, 5, 8,và 9 được kết hợp.Một quan sát rõ ràng là chúng tôi có thể ngay lập tức tăng hiện tại mộtkết hợp bằng cách thêm một cạnh giữa hai đỉnh miễn phí. Ví dụ: thêm (1, 6)để phù hợp với Ma= {(4, 8), (5, 9)} trong đồ thị trong hình 10.9a sản lượng một lớn hơnphù hợp với Mb= {(1, 6) (4, 8), (5, 9)} (con số 10.9b). Hãy cho chúng tôi bây giờ cố gắng tìm mộtphù hợp với lớn hơn Mb bằng cách kết hợp các đỉnh 2. Cách duy nhất để làm điều này sẽbạn phải bao gồm các cạnh (2, 6) trong một kết hợp mới. Này bao gồm yêu cầu loại bỏ(1, 6), mà có thể được bù đắp bởi bao gồm (1, 7) trong các kết hợp mới. Điều nàymới phù hợp với Mc= {(1, 7), (2, 6), (4, 8), (5, 9)} được thể hiện trong hình 10.9 c.Nói chung, chúng tôi tăng kích thước của một phù hợp với M hiện tại bằng cách xây dựng mộtđường đi từ một đỉnh miễn phí trong V với một đỉnh miễn phí inU có cạnh là Luân phiênE −M và M. Có nghĩa là, cạnh đường, đầu tiên không thuộc về M, cácThứ hai một không, và vv., cho đến khi cuối cùng cạnh đó không thuộc về các M. Như vậy mộtcon đường được gọi là augmenting đối với phù hợp với M. Ví dụ, đường dẫn2, 6, 1, 7 là một con đường thông đối với Mb kết hợp trong hình 10.9b.Kể từ khi chiều dài của một đường dẫn thông luôn luôn là lẻ, thêm để phù hợp với MCác đường dẫn đa cung ở vị trí số lẻ và xóa từ nó của con đườngcạnh ở vị trí số thậm chí sản lượng một kết hợp với một cạnh thêm hơntrong M. Một điều chỉnh phù hợp với ở đây được gọi là augmentation. Như vậy, trong hình 10.9,phù hợp với Mb được thu được bằng augmentation của Ma kết hợp cùng cácaugmenting đường dẫn 1, 6, và Mc phù hợp thu được bằng cách tăng thêm của cácmatchingMb dọc theo con đường thông 2, 6, 1, 7. Di chuyển hơn nữa, 3, 8, 4, 9, 5, 10là một con đường thông cho phù hợp với Mc (hình 10.9 c). Sau khi thêm vào Mccác cạnh (3, 8), (4, 9), và (5, 10) và xoá (4, 8) và (5, 9), chúng tôi có được cácphù hợp với Md= {(1, 7), (2, 6), (3, 8), (4, 9), (5, 10)} Hiển thị trong hình 10.9 d.

Kết quả (Việt) 2:

Hãy để chúng tôi áp dụng các kỹ thuật lặp đi lặp lại, cải tiến để các maximumcardinality-
vấn đề phù hợp. Gọi M là một kết hợp trong một đồ thị hai phía G
=? V, U, E. Làm thế nào chúng ta có thể cải thiện nó, tức là, tìm thấy một kết hợp mới với nhiều cạnh?
Rõ ràng, nếu mỗi đỉnh trong hoặc V hoặc U là lần xuất hiện (có một người bạn đời), tức là phục vụ như là
một thiết bị đầu cuối của một cạnh trong M, điều này không thể được thực hiện và M là một kết hợp tối đa.
Vì vậy, để có cơ hội cải thiện phù hợp với hiện tại, cả V và U
phải chứa chưa từng có (còn gọi là miễn phí) đỉnh, tức là, các đỉnh mà không phải là sự cố
đến mọi cạnh trong M. Ví dụ, đối với các khớp Ma
= {(4, 8), (5, 9)} trong
đồ thị trong hình 10.9a, đỉnh 1, 2, 3, 6, 7, và 10 là miễn phí, và đỉnh 4, 5, 8,
và 9 được xuất hiện.
Một quan sát rõ ràng là chúng ta ngay lập tức có thể tăng một hiện
phù hợp bằng cách thêm một cạnh giữa hai đỉnh miễn phí. Ví dụ, thêm (1, 6)
cho phù hợp với Ma
= {(4, 8), (5, 9)} trong đồ thị trong hình 10.9a mang lại một lớn hơn
phù hợp với Mb
= {(1, 6), (4, 8), (5, 9)} (hình 10.9b). Bây giờ chúng ta cố gắng tìm một
khớp lớn hơn Mb bằng cách kết hợp đỉnh 2. Cách duy nhất để làm điều này sẽ
được để bao gồm các cạnh (2, 6) trong một kết hợp mới. Bao gồm này đòi hỏi loại bỏ
(1, 6), có thể được bù đắp bằng bao gồm của (1, 7) ở mới phù hợp. Điều này
phù hợp mới Mc
= {(1, 7), (2, 6), (4, 8), (5, 9)} được thể hiện trong hình 10.9c.
Nói chung, chúng tôi tăng kích thước của một hợp M hiện bởi xây dựng một
con đường đơn giản từ một đỉnh miễn phí trong V với một đỉnh miễn phí Inu có cạnh được luân phiên
trong E-M và M. Đó là, cạnh đầu tiên của con đường không thuộc về M,
một giây nào, và như vậy , cho đến khi các cạnh cuối cùng mà không thuộc về M. một như vậy
con đường được gọi là làm tăng sự tôn trọng cho phù hợp với M. Ví dụ, những con đường với
2, 6, 1, 7 là một con đường làm tăng đối với các Mb phù hợp trong hình 10.9 b.
Từ chiều dài của một con đường làm tăng là luôn luôn lẻ, bổ sung cho phù hợp M
các cạnh của con đường ở các vị trí số lẻ và xóa từ nó của đường
viền của các vị trí chẵn mang lại một kết hợp với một cạnh hơn
trong M . một sự điều chỉnh phù hợp như vậy được gọi là tăng thêm. Như vậy, trong hình 10.9,
các Mb phù hợp đã thu được bằng cách tăng thêm của Ma khớp dọc theo
con đường làm tăng 1, 6, và các khớp Mc đã thu được bằng cách tăng thêm của
matchingMb dọc theo con đường làm tăng 2, 6, 1, 7. Di chuyển thêm , 3, 8, 4, 9, 5, 10
là một con đường làm tăng cho phù hợp với Mc (hình 10.9c). Sau khi thêm Mc
các cạnh (3, 8), (4, 9), và (5, 10) và xóa (4, 8) và (5, 9), chúng ta có được sự
phù hợp với Md
= {(1, 7) , (2, 6), (3, 8), (4, 9), (5, 10)} thể hiện trong hình 10.9d.