Again it should be checked that the

Again it should be checked that the notions are independent of the atlases
from which the charts are chosen, as long as each atlas is replaced by a
compatible one. The verification of this fact is straightforward.
It follows from Theorem 2.7 that the notion of smoothness is the same as
before if M = S ⊂ Rn and M ˜ = S ⊂ ˜ Rl. Likewise, there is no conflict with
Definition 2.7.1 in case M ˜ = Rl, where in Definition 2.7.2 we can use the
identity map for ˜ σ: Rl → Rl.
It is easily seen that the composition of two smooth maps between abstract
manifolds is again smooth.
Example 2.7.2 Let M, N be finite dimensional vector spaces of dimension
m and n, respectively. These are abstract manifolds, according to Example
2.3.1. Let f: M → N be a linear map. If we choose a basis for each space
and define the corresponding charts as in Example 2.3.1, then the coordinate
expression for f is a linear map from Rm to Rn (given by the matrix that
represents f), hence smooth. It follows from Definition 2.7.2 that f is smooth.
If f is bijective, its inverse is also linear, and hence in that case f is a
diffeomorphism.
Example 2.7.3 Let σ: U → M be a chart on an abstract m-dimensional
manifold M. It follows from the assumption of smooth transition on overlaps
that σ is smooth U → M, if we regard U as an m-dimensional manifold (with
the identity chart). By combining this observation with Example 2.7.1, we
see that σ is a diffeomorphism of U onto its image σ(U) (which is open in
M by Definition 2.2.1).
Conversely, every diffeomorphism g of a non-empty open subset V ⊂ Rm
onto an open subset in M is a chart on M. Indeed, by the definition of
a chart given at the end of Section 2.2, this means that g should overlap
smoothly with all charts σ in an atlas of M, that is g−1 ◦ σ and σ−1 ◦ g
should both be smooth (on the sets where they are defined). This follows
from the preceding observation about compositions of smooth maps.
2.8 Lie groups
Definition 2.8.1. A Lie group is a group G, which is also a manifold, such
that the group operations
(x, y) 7→ xy, x 7→ x−1,
are smooth maps from G × G, respectively G, into G.
Example 2.8.1 Every finite dimensional real vector space V is a group,
with the addition of vectors as the operation and with neutral element 0.
The map (x, y) 7→ x + y is linear V × V → V , hence it is smooth (see
Example 2.7.2). Likewise x 7→ −x is smooth and hence V is a Lie group.

Kết quả (Việt) 1:

Một lần nữa nó cần được kiểm tra rằng các khái niệm được độc lập của các tập bản đồtừ đó các bảng xếp hạng được lựa chọn, miễn là mỗi bản đồ được thay thế bởi mộttương thích một. Kiểm tra thực tế này là đơn giản.Nó sau từ 2,7 định lý khái niệm của êm ái là giống nhưtrước khi nếu M = S ⊂ Rn và M ˜ = S ⊂ ˜ Rl. tương tự, có là không có xung đột vớiĐịnh nghĩa 2.7.1 trong trường hợp M ˜ = Rl, nơi trong định nghĩa 2.7.2 chúng tôi có thể sử dụng cácnhận dạng bản đồ cho ˜ σ: Rl → Rl.Nó dễ dàng thấy rằng các thành phần của hai bản đồ trơn tru giữa tóm tắtđa tạp là một lần nữa mịn.Ví dụ 2.7.2 cho M, N là gian vectơ hữu hạn chiều của kích thướcm và n, tương ứng. Đây là trừu tượng đa tạp, theo ví dụ2.3.1. Hãy để f: Các M → N là bản đồ tuyến tính. Nếu chúng tôi chọn một cơ sở cho mỗi không gianvà xác định các bảng xếp hạng tương ứng như trong ví dụ 2.3.1, sau đó là tọa độbiểu thức cho f là một bản đồ tuyến tính từ Rm để Rn (được đưa ra bởi các ma trận màđại diện cho f), do đó mịn. Nó sau từ định nghĩa 2.7.2 đó f là mịn.Nếu f là song ánh, nghịch đảo của nó cũng là tuyến tính, và do đó trong trường hợp đó f là mộtdiffeomorphism.Ví dụ 2.7.3 cho σ: U → M là một biểu đồ trên một trừu tượng chiều mManifold M. Nó sau từ giả định về chuyển tiếp êm trên chồng chéoσ đó là mịn U → M, nếu chúng ta quan tâm U là một đa tạp chiều m (vớibảng xếp hạng danh tính). Bằng cách kết hợp các quan sát này với ví dụ 2.7.1, chúng tôiXem σ đó là một diffeomorphism của U lên hình ảnh của mình σ(U) (mà mở cửa vàoM theo định nghĩa 2.2.1).Ngược lại, mỗi g diffeomorphism của một tập hợp con mở phòng không có sản phẩm nào V ⊂ Rmvào một tập hợp con mở trong M là một biểu đồ trên M. Thật vậy, theo định nghĩa củamột biểu đồ cho cuối phần 2.2, điều này có nghĩa rằng g nên chồng lên nhauthuận lợi với tất cả bảng xếp hạng σ trong một bản đồ của M, đó là g−1 ◦ σ và σ−1 ◦ gcả hai nên mịn (trên bộ nơi họ được định nghĩa). Điều này sautừ các quan sát trước về các tác phẩm của bản đồ mịn.2.8 nhóm lieĐịnh nghĩa 2.8.1. Một nhóm Lie là một nhóm G, đó cũng là một đa tạp, như vậymà các hoạt động nhóm(x, y) 7→ xy, x 7→ x−1,Các bản đồ mịn từ G × G, tương ứng G, vào G.Ví dụ 2.8.1 mỗi hữu hạn chiều không gian vector thực V là một nhóm,với việc bổ sung của vectơ là hoạt động và trung tính nguyên tố 0.Bản đồ (x, y) 7→ x + y là tuyến tính V × V → V, do đó nó được mịn màng (xemVí dụ 2.7.2). Tương tự như vậy x 7→ −x được mịn màng và do đó V là một nhóm Lie.

Kết quả (Việt) 2:

Một lần nữa nó phải được kiểm tra rằng các khái niệm độc lập của Tập bản đồ
mà từ đó các bảng xếp hạng được lựa chọn, miễn là mỗi atlas được thay thế bởi một
một tương thích. Việc xác minh thực tế này là đơn giản.
Sau đó từ Định lý 2.7 rằng khái niệm êm ái là giống như
trước nếu M = S ⊂ Rn và M ~ = S ⊂ ~ Rl. Tương tự như vậy, không có xung đột với
Definition 2.7.1 trong trường hợp M ~ = Rl, nơi mà trong định nghĩa 2.7.2 chúng ta có thể sử dụng các
bản đồ sắc cho ~ σ:. Rl → Rl
Nó được dễ dàng nhìn thấy rằng thành phần của hai bản đồ trơn tru giữa trừu tượng
đa tạp là lại mượt mà.
Ví dụ 2.7.2 Gọi M, N là không gian vector hữu hạn chiều có kích thước
m và n, tương ứng. Đây là những đa tạp trừu tượng, theo ví dụ
2.3.1. Cho f: M → N là một ánh xạ tuyến tính. Nếu chúng ta chọn một cơ sở cho mỗi không gian
và xác định các bảng xếp hạng tương ứng như trong Ví dụ 2.3.1, sau đó phối hợp các
biểu thức f là một ánh xạ tuyến tính từ Rm để Rn (cho bởi ma trận
đại diện cho f), do đó mịn. . Sau đó từ Định nghĩa 2.7.2 f là mịn
Nếu f là song ánh, nghịch đảo của nó cũng là tuyến tính, và do đó trong trường hợp đó f là một
diffeomorphism.
Ví dụ 2.7.3 Hãy σ: U → M là một biểu đồ trên một m trừu tượng chiều
đa dạng M. Sau đó từ các giả thiết của quá trình chuyển đổi trơn tru trên chồng chéo
đó σ là mịn U → M, nếu chúng ta coi như là một đa tạp U m chiều (với
các biểu đồ dạng). Bằng cách kết hợp quan sát này với Ví dụ 2.7.1, chúng ta
thấy rằng σ là một diffeomorphism của U vào σ hình ảnh của mình (U) (đó là mở trong
M bởi Definition 2.2.1).
Ngược lại, mỗi diffeomorphism g của một mở không có sản phẩm nào tập hợp con V ⊂ Rm
vào một tập con mở tại M là một biểu đồ trên M. Thật vậy, theo định nghĩa của
một biểu đồ được đưa ra vào cuối Mục 2.2, điều này có nghĩa là g nên chồng chéo
thông suốt với tất cả các bảng xếp hạng σ trong một tập bản đồ của M, mà là g-1 ◦ σ và σ-1 ◦ g
cả sẽ được mịn màng (trên bộ, nơi chúng được xác định). Điều này sau
từ các quan sát trước đó về tác phẩm của bản đồ trơn tru.
2,8 nhóm Lie
Định nghĩa 2.8.1. Một nhóm Lie là một nhóm G, đó cũng là một đa tạp, chẳng hạn
rằng các hoạt động nhóm
(x, y) 7 → xy, x 7 → x-1,
là bản đồ trơn tru từ G × G, tương ứng G, vào G.
Ví dụ 2.8.1 Mỗi hữu hạn chiều không gian vector V thực là một nhóm,
với sự bổ sung của các vector như các hoạt động và với các phần tử trung lập 0.
Bản đồ (x, y) 7 → x + y là tuyến tính V × V → V, do đó nó là mịn (xem
Ví dụ 2.7.2). Tương tự như vậy x 7 → -x được mịn màng và do đó V là một nhóm Lie.