207( i) * 0 (a t O) and jJ(t) = 0 (

207
( i) * 0 (a t O) and jJ(t) = 0 (10) u -
(ii) jJ(t) a(t) u*(t) (a' 1jJ + O) i.e., * jJ(t) (11) u = - a(t)
(iii) 1jJ( t) - 0 - a(t) over a time interval say [tl' t2] (12)
Case (i) is the case of zero control effort;
Case (ii) corresponds to the bang-bang control in the last
section: jJ(t) and a(t) must vanish simultaneously at each switch;
Case (iii) involves singular control which we shall now examine
in more detail with reference to Jphnson's (1965) example.
If a(x,p) vanishes identically over a time interval, say
[t 1, t 2 ], then (9) implies jJ(x,p) also vanishes identically, given the
fact that H(x,p) ·- 0 I;J t E [0 ,T]. Furthermore, during this singular
interval,
dk
j!(x,p) 0 al- - '(13)
/ a(x,p) 0 ' k al - 0, 1' 2, ... (14)
For k 0, we simply have a(x,p) - 0
For k 1, obtain . x+ 0 we a = a a p -
X p
(15)
Substituting the dynamic and adjoint system x f(x,u,t) and
p - H into (15), taking into account the fact that H = 0 I;J t E [O,T],
X
we may be able to solve (15) explicitly for u*. If we are, we are
finished. If not, we proceed to the cases where k = 2, 3, 4, .•. i.e.,
a= 0 =a =·a= ... ,until u* eventually comes out.
To decide whether a singular interval is involved, a thorough
check must be made to ensure that the application of the singularity
conditions (13) and (14) does not introduce any inconsistencies into

Kết quả (Việt) 1:

207(i) * 0 (một t O) và jJ(t) = 0 (10) u -(ii) jJ(t) a(t) u*(t) (một ' 1jJ + O) ví dụ, * jJ(t) (11) u = - a(t)(iii) 1jJ (t) - 0 - a(t) trong một khoảng thời gian nói [tl' t2] (12)Trường hợp (i) là trường hợp của số không nỗ lực kiểm soát;Trường hợp (ii) tương ứng với sự kiểm soát bang-bang trongphần: jJ(t) và a(t) phải tan biến đồng thời tại mỗi chuyển đổi;Trường hợp (iii) liên quan đến việc kiểm soát số ít mà chúng tôi sẽ kiểm tra bây giờcụ thể hơn với tham chiếu đến ví dụ của Jphnson (1965).Nếu a(x,p) biến mất giống nhau trong một khoảng thời gian, nói[t 1, t 2], sau đó (9) ngụ ý jJ(x,p) cũng biến mất giống nhau, cho cácthực tế rằng H(x,p) ·-0 tôi;J t E [0, T]. Hơn nữa, trong số ít nàykhoảng thời gian,DKj!(x, p) 0 al-- ' (13)/ a(x,p) 0' k al - 0, 1' 2,... (14)Đối với k 0, chúng tôi chỉ đơn giản là có a(x,p) - 0K 1, có được. x + 0 chúng tôi một = một một p -X p(15)Thay thế hệ thống năng động và lĩnh x f(x,u,t) vàp - H vào (15), tham gia vào tài khoản một thực tế rằng H = 0 I;J t E [O, T],Xchúng tôi có thể giải quyết (15) một cách rõ ràng cho bạn *. Nếu chúng ta, chúng tôi làđã hoàn thành. Nếu không, chúng tôi tiếp tục các trường hợp nơi k = 2, 3, 4,. •. tức là,một = 0 = một = ·a =..., cho đến khi u * cuối cùng đi ra.Quyết định cho dù một khoảng thời gian từ mới là liên quan đến, một toàn diệnkiểm tra phải được thực hiện để đảm bảo rằng các ứng dụng của điểm kỳ dịđiều kiện (13) và (14) không giới thiệu bất kỳ mâu thuẫn vào

Kết quả (Việt) 2:

207
(i) * 0 (tại O) và JJ (t) = 0 (10) u -
(ii) JJ (t) a (t) u * (t) (a '1jJ + O), tức * JJ (t) (11) u = - a (t)
(iii) 1jJ (t) - 0 - a (t) trong một khoảng thời gian nói [tl 't2] (12)
Case (i) là trường hợp của không nỗ lực kiểm soát;
Case (ii) tương ứng để điều khiển bang-bang ở cuối
phần: JJ (t) và a (t) phải tan biến đồng thời ở mỗi chuyển đổi;
Case (iii) liên quan đến việc kiểm soát đặc biệt mà bây giờ chúng ta sẽ xem xét
trong cụ thể hơn với tham chiếu đến (1965) dụ Jphnson của.
Nếu (x, p) biến mất hệt trong một khoảng thời gian, nói
[t 1, t 2], sau đó (9) ngụ ý JJ (x, p) cũng biến mất giống nhau, cho các
thực tế rằng H (x, p) · - 0 I; J t E [0, T]. Hơn nữa, trong số ít này
khoảng,
dk
! j (x, p) 0 al- - '(13)
/ A (x, p) 0 'k al - 0, 1' 2, ... (14)
Đối với k 0, chúng tôi chỉ đơn giản là có một (x, p) - 0
Đối với k 1, có được. x + 0 ta a = aap -
p X
(15)
Thay thế các hệ thống xf năng động và liên hợp (x, u, t) và
p - H vào (15), có tính đến thực tế là H = 0 I; J t E [ O, T],
X
, chúng tôi có thể giải quyết (15) một cách rõ ràng cho u *. Nếu chúng ta, chúng ta
đã hoàn thành. Nếu không, chúng tôi tiến hành với các trường hợp k = 2, 3, 4,. •. tức là,
a = 0 = a = · a = ..., cho đến khi u * cuối cùng đi ra.
Để quyết định một khoảng thời gian ít được tham gia, một cách triệt để
kiểm tra phải được thực hiện để đảm bảo rằng các ứng dụng của các kỳ dị
điều kiện (13) và (14) không đưa ra bất kỳ mâu thuẫn vào