In the preceding example S was equi

In the preceding example S was equipped with an atlas as in Definition
1.6.2, but one must keep in mind that there is not a unique atlas associated
with a given manifold in Rn. For example, the use of spherical coordinates is
just one of many ways to parametrize the sphere. If we use a different atlas
on S, it is still the same manifold in Rn. In order to treat this phenomenon
abstractly, we introduce an equivalence relation for different atlases on the
same space M.
Definition 2.2.2. Two m-dimensional smooth atlases on M are said to be
compatible, if every chart from one atlas has smooth transition on its overlap
with every chart from the other atlas (or equivalently, if their union is again
an atlas).
It can be seen that compatibility is an equivalence relation. An equivalence class of smooth atlases is called a smooth structure. It follows from
Theorem 1.8 that all atlases (Definition 1.6.2) on a given manifold S in Rn
are compatible. The smooth structure so obtained on S is called the standard
smooth structure.
Definition 2.2.3. An abstract manifold (or just a manifold) of dimension m, is a Hausdorff topological space M, equipped with an m-dimensional
smooth atlas. Compatible atlases are regarded as belonging to the same manifold (the precise definition is thus that a manifold is a Hausdorff topological
space equipped with a smooth structure). A chart on M is a chart from any
atlas compatible with the structure.
It is often required of an abstract manifold that it should have a countable
atlas (see Section 2.9). We do not require this here.
2.3 Examples
Example 2.3.1 Let M be an m-dimensional real vector space. Fix a basis
v1, . . ., vm for M, then the map
σ: (x1, . . ., xm) 7→ x1v1 + · · · + xmvm
is a linear bijection Rm → M. We equip M with the distance function
so that this map is an isometry, then M is a metric space. Furthermore,
the collection consisting just of the map σ, is an atlas. Hence M is an mdimensional abstract manifold.
If another basis w1, . . ., wm is chosen, the atlas consisting of the map
τ: (x1, . . ., xm) 7→ x1w1 + · · · + xmwm
is compatible with the previous atlas. The transition maps σ−1 ◦ τ and
τ −1 ◦σ are linear, hence smooth. In other words, the smooth structure of M
is independent of the choice of the basis.

Kết quả (Việt) 1:

Trong ví dụ trước S được trang bị với một bản đồ như trong định nghĩa1.6.2, nhưng một trong những phải ghi nhớ rằng không phải là một bản đồ duy nhất liên quan đếnvới một đa tạp nhất định trong Rn. Ví dụ, việc sử dụng các tọa độ cầu làchỉ là một trong nhiều cách để parametrize hình cầu. Nếu chúng tôi sử dụng một bản đồ khác nhaus, nó vẫn là đa tạp tương tự trong Rn. Để điều trị hiện tượng nàyabstractly, chúng tôi giới thiệu một mối quan hệ tương đương cho tập bản đồ khác nhau trên cáccùng một không gian M.Định nghĩa 2.2.2. Hai chiều m mịn tập trên M được gọi làtương thích, nếu mỗi bảng xếp hạng từ một bản đồ có chuyển đổi suôn sẻ trên chồng chéo của nóvới mỗi biểu đồ từ các bản đồ khác (hoặc tương đương, nếu liên minh của họ là một lần nữabản đồ một).Nó có thể được nhìn thấy rằng một mối quan hệ tương đương là khả năng tương thích. Một lớp tương đương của mịn tập được gọi là một cấu trúc mịn. Nó sau từĐịnh lý 1.8 rằng tất cả bản đồ câm (định nghĩa 1.6.2) đa tạp nhất định S trong Rnlà tương thích. Mịn cấu trúc để thu được trên S được gọi là các tiêu chuẩncấu trúc mịn.Định nghĩa 2.2.3. Một đa tạp trừu tượng (hoặc chỉ là một đa tạp) kích thước m, là một không gian tôpô Hausdorff M, được trang bị với một m-chiềumịn atlas. Tập bản đồ tương thích được coi là thuộc về cùng một đa tạp (định nghĩa chính xác là như vậy, một đa tạp là một Hausdorff tô pôkhông gian được trang bị với một cấu trúc mịn). Một biểu đồ trên M là một biểu đồ từ bất kỳbản đồ tương thích với cấu trúc.Nó thường được yêu cầu của một đa tạp trừu tượng rằng nó cần phải có một mụcbản đồ (xem phần 2,9). Chúng tôi không yêu cầu này ở đây.2.3 ví dụVí dụ 2.3.1 M cho là một không gian vector thực chiều m. Sửa chữa cơ sởv1,..., vm cho M, sau đó bản đồΣ: (x 1,..., xm) 7→ x1v1 + · · · + xmvmlà một song ánh tuyến tính Rm → M. Chúng tôi trang cho M với hàm khoảng cáchdo đó bản đồ này là một isometry, sau đó M là một không gian metric. Hơn nữa,Các bộ sưu tập bao gồm chỉ của σ bản đồ, là một bản đồ. Do đó M là một đa tạp trừu tượng mdimensional.Nếu một cơ sở w1,..., wm được chọn, các bản đồ bao gồm bản đồΤ: (x 1,..., xm) 7→ x1w1 + · · · + xmwmlà tương thích với các bản đồ trước đó. Bản đồ quá trình chuyển đổi σ−1 ◦ τ vàKhoảng −1 ◦σ là tuyến tính, do đó mịn. Nói cách khác, cấu trúc mịn của Mlà độc lập với sự lựa chọn của cơ sở.

Kết quả (Việt) 2:

Trong ví dụ trước S được trang bị với một tập bản đồ như trong định nghĩa
1.6.2, nhưng người ta phải nhớ rằng đó không phải là một tập bản đồ duy nhất liên kết
với một đa tạp được đưa ra trong Rn. Ví dụ, việc sử dụng các tọa độ cầu là
chỉ là một trong nhiều cách để tham số hóa các hình cầu. Nếu chúng ta sử dụng một bản đồ khác nhau
trên S, nó vẫn là đa dạng như nhau trong Rn. Để điều trị hiện tượng này
một cách trừu tượng, chúng tôi giới thiệu một quan hệ tương đương với tập bản đồ khác nhau trên
cùng một không gian M.
Định nghĩa 2.2.2. Hai tập bản đồ mịn m chiều trên M được cho là
tương thích, nếu mỗi biểu đồ từ một tập bản đồ có quá trình chuyển đổi trơn tru trên chồng chéo của nó
với các bảng xếp hạng những bản đồ khác (hoặc tương đương, nếu công đoàn của họ lại là
một tập bản đồ).
Nó có thể được nhìn thấy tương thích mà là một quan hệ tương đương. Một lớp tương đương của các tập bản đồ trơn được gọi là cấu trúc mịn. Sau đó từ
Định lý 1.8 rằng tất cả các tập bản đồ (Định nghĩa 1.6.2) trên một đa tạp S được đưa ra trong Rn
là tương thích. Các cấu trúc mịn để thu được trên S được gọi là tiêu chuẩn
cấu trúc mịn.
Định nghĩa 2.2.3. Một đa tạp trừu tượng (hoặc chỉ cần một đa tạp) có kích thước m, là một không gian tôpô Hausdorff M, được trang bị với một m chiều
atlas mịn. Tập bản đồ tương thích được coi là thuộc về đa dạng tương tự (định nghĩa chính xác là như vậy, mà một đa tạp là một tôpô Hausdorff
không gian trang bị một cấu trúc mịn). Một biểu đồ trên M là một biểu đồ từ bất kỳ
tập bản đồ tương thích với cấu trúc.
Nó thường được yêu cầu của một đa tạp trừu tượng mà nó cần phải có một đếm được
tập bản đồ (xem Phần 2.9). Chúng tôi không yêu cầu này ở đây.
2.3 Các ví dụ
Ví dụ 2.3.1 Cho M là một không gian vector thực m chiều. Sửa chữa cơ sở
v1,. . ., Vm cho M, sau đó bản đồ
σ: (... X1,, xm) 7 → x1v1 + · · · + xmvm
là một song ánh tuyến tính Rm → M. Chúng tôi trang bị cho M với hàm khoảng cách
để bản đồ này là một isometry, sau đó M là một không gian metric. Hơn nữa,
các bộ sưu tập bao gồm chỉ của σ bản đồ, là một tập bản đồ. Do đó M là một đa tạp trừu tượng mdimensional.
Nếu một W1 cơ sở,. . ., Wm được chọn, tập bản đồ bao gồm các bản đồ
τ: (... X1,, xm) 7 → x1w1 + · · · + xmwm
là tương thích với bản đồ trước đó. Các bản đồ chuyển σ-1 ◦ τ và
τ ​​-1 ◦σ là tuyến tính, do đó mịn. Nói cách khác, cấu trúc mịn của M
là độc lập với sự lựa chọn của các cơ sở.