Empirical Selection of a Transforma

Empirical Selection of a Transformation. We observed above that if experimenters
knew the relationship between the variance of the observations and the mean, they
could use this information to guide them in selecting the form of the transformation. We now
elaborate on this point and show one method for empirically selecting the form of the required
transformation from the data.
Let E(y)   be the mean of y, and suppose that the standard deviation of y is proportional
to a power of the mean of y such that
We want to find a transformation on y that yields a constant variance. Suppose that the transformation
is a power of the original data, say
(3.20)
Then it can be shown that
(3.21)
Clearly, if we set   1  , the variance of the transformed data y* is constant.
Several of the common transformations discussed previously are summarized in Table
3.9. Note that   0 implies the log transformation. These transformations are arranged in
order of increasing strength. By the strength of a transformation, we mean the amount of
curvature it induces. A mild transformation applied to data spanning a narrow range has little
effect on the analysis, whereas a strong transformation applied over a large range may
have dramatic results. Transformations often have little effect unless the ratio ymax/ymin is
larger than 2 or 3.
In many experimental design situations where there is replication, we can empirically
estimate from the data. Because in the ith treatment combination where

is a constant of proportionality, we may take logs to obtain
(3.22)
Therefore, a plot of log versus log i would be a straight line with slope . Because we
don’t know and i, we may substitute reasonable estimates of them in Equation 3.22 and
use the slope of the resulting straight line fit as an estimate of . Typically, we would use the
standard deviation Si and the average of the ith treatment (or, more generally, the ith treatment
combination or set of experimental conditions) to estimate and i.
To investigate the possibility of using a variance-stabilizing transformation on the
peak discharge data from Example 3.5, we plot log Si versus log in Figure 3.8. The slope
of a straight line passing through these four points is close to 1/2 and from Table 3.9 this
implies that the square root transformation may be appropriate. The analysis of variance for

Kết quả (Việt) 2:

Lựa chọn theo kinh nghiệm của một chuyển đổi. Chúng tôi quan sát ở trên rằng nếu thí nghiệm
biết mối quan hệ giữa sự thay đổi của các quan sát và trung bình, họ
có thể sử dụng thông tin này để hướng dẫn họ trong việc lựa chọn các hình thức chuyển đổi. Bây giờ chúng ta
xây dựng trên quan điểm này và cho thấy một phương pháp thực nghiệm lựa chọn các hình thức của các yêu cầu
chuyển đổi từ dữ liệu.
Hãy E (y)? ? là giá trị trung bình của y, và giả sử rằng độ lệch chuẩn của y là tỷ lệ thuận
với sức mạnh của giá trị trung bình của y như vậy mà
chúng tôi muốn tìm một sự biến đổi về y rằng sản lượng một phương sai không đổi. Giả sử rằng việc chuyển đổi
là một sức mạnh của dữ liệu gốc, nói
(3.20)
Sau đó, nó có thể được chỉ ra rằng
(3.21)
Rõ ràng, nếu chúng ta thiết lập? ? 1? , Phương sai của biến đổi dữ liệu y * là hằng số.
Một số biến đổi chung thảo luận trước đây được tóm tắt trong Bảng
3.9. Lưu ý rằng? ? 0 ngụ ý chuyển đổi đăng nhập. Những biến đổi này được sắp xếp ở
thứ tự tăng dần sức mạnh. Bởi sức mạnh của một chuyển đổi, chúng tôi có nghĩa là số lượng
cong nó gây ra. Một chuyển đổi nhẹ áp dụng cho dữ liệu bao trùm một phạm vi hẹp có ít
ảnh hưởng đến việc phân tích, trong khi một chuyển đổi mạnh mẽ áp dụng trên một phạm vi rộng lớn có thể
có kết quả đáng kể. Những biến đổi này thường có tác dụng rất ít, trừ khi tỷ lệ ymax / ymin là
lớn hơn 2 hoặc 3.
Trong nhiều tình huống thiết kế thí nghiệm, nơi có là nhân bản, chúng tôi thực nghiệm có thể
ước lượng từ dữ liệu. Bởi vì trong sự kết hợp điều trị thứ i mà là một hằng số tỉ lệ, chúng tôi có thể lấy các bản ghi để có được (3.22) Do đó, một âm mưu của log so với đăng nhập? I sẽ là một đường thẳng có độ dốc?. Bởi vì chúng ta không biết và? I, chúng ta có thể thay thế ước tính hợp lý của họ trong phương trình 3.22 và sử dụng độ dốc của đường thẳng phù hợp với kết quả như một ước tính. Thông thường, chúng ta sẽ sử dụng độ lệch chuẩn Si và trung bình của điều trị thứ i (hay tổng quát hơn, điều trị thứ i kết hợp hoặc thiết lập các điều kiện thí nghiệm) để ước lượng và? I. Để điều tra khả năng sử dụng một chuyển đổi phương sai-ổn định trên các dữ liệu lưu lượng đỉnh cao từ ví dụ 3.5, chúng tôi âm mưu đăng nhập Si so với bản ghi ở hình 3.8. Độ dốc của đường thẳng đi qua bốn điểm gần 1/2 và từ Bảng 3.9 này ngụ ý rằng việc chuyển đổi căn bậc hai có thể thích hợp. Các phân tích phương sai cho