That division in Z[i] lacks uniquen

That division in Z[i] lacks uniqueness in the quotient and remainder does not seriously
limit the usefulness of division. Indeed, back in Z, the uniqueness of the quotient and
remainder for the usual division theorem is irrelevant for many important applications
(such as Euclid’s algorithm). All those applications will carry over to Z[i], with essentially
the same proofs.
4. The Euclidean Algorithm
We begin by defining greatest common divisors in Z[i].
Definition 4.1. For non-zero α and β in Z[i], a greatest common divisor of α and β is a
common divisor with maximal norm.
This is analogous to the usual definition of greatest common divisor in Z, except the
concept is not pinned down as a specific number. If δ is a greatest common divisor of α
and β, so are (at least) its unit multiples −δ, iδ, and −iδ. Perhaps there are other greatest
common divisors; we just don’t know yet. (We will find out in Corollary 4.7.) We can
speak about a greatest common divisor, but not the greatest common divisor. A similar
THE GAUSSIAN INTEGERS 7
technicality would occur in Z if we defined the greatest common divisor as a common divisor
with largest absolute value, rather than the largest positive common divisor. There is no
analogue of positivity in Z[i] (at least not in this course), so we are stuck with the concept
of greatest common divisor always ambiguous at least by a unit multiple.

Kết quả (Việt) 1:

Bộ phận đó trong Z [i] thiếu tính độc đáo ở thương và còn lại hiện chưa nghiêm túchạn chế tính hữu dụng của division. Thật vậy, trở lại trong Z, sự độc đáo của thương vàthời gian còn lại cho định lý bộ phận thông thường là không thích hợp cho nhiều ứng dụng quan trọng(chẳng hạn như thuật toán Euclid). Tất cả những ứng dụng sẽ mang theo hơn đến Z [i], với bản chấtchứng minh tương tự.4. các thuật toán EuclidChúng tôi bắt đầu bằng cách xác định lớn nhất thường thức trong Z [i].Định nghĩa 4.1. -Zero α và β trong Z [i], ước chung lớn nhất của α và β là mộtước chung với mức tối đa.Điều này là tương tự như các định nghĩa thông thường của ước chung lớn nhất trong Z, ngoại trừ cáckhái niệm ghim không như một số cụ thể. Nếu δ là ước số chung lớn nhất của αvà β, do đó (ít nhất) là đơn vị của nó bội −δ, iδ, và −iδ. Có lẽ đó là khác nhấtthường thức; chúng tôi chỉ không biết được nêu ra. (Chúng tôi sẽ tìm ra trong hệ luỵ 4.7.) Chúng ta có thểnói về một ước số chung lớn nhất, nhưng không phải ước số chung lớn nhất. Một tương tựCÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 7yêu cầu kỹ thuật sẽ xảy ra trong Z, nếu chúng ta định nghĩa ước số chung lớn nhất là một ước chungvới giá trị tuyệt đối lớn nhất, chứ không phải là ước số chung tích cực lớn nhất. Có khôngtương tự của dương tính trong Z [i] (ít nhất không phải trong khóa học này), do đó, chúng tôi đang mắc kẹt với các khái niệmsố ước chung lớn nhất luôn mơ hồ ở ít nhất bởi một đơn vị nhiều.

Kết quả (Việt) 2:

Đó là sự chia rẽ trong Z [i] thiếu tính độc đáo trong các thương và còn lại không nghiêm túc
hạn chế tính hữu ích của bộ phận. Thật vậy, trở lại trong Z, sự độc đáo của các thương và
còn lại cho các định lý bộ phận thông thường là không thích hợp cho nhiều ứng dụng quan trọng
(chẳng hạn như thuật toán Euclid). Tất cả những ứng dụng sẽ mang theo đến Z [i], với bản chất
các bằng chứng tương tự.
4. Các Euclide Algorithm
Chúng tôi bắt đầu bằng cách xác định các ước chung lớn nhất trong Z [i].
Định nghĩa 4.1. Đối với phi zero-α và β trong Z [i], một ước chung lớn nhất của α và β là một
ước chung với định mức tối đa.
Điều này giống như định nghĩa thông thường của các ước số chung lớn nhất trong Z, ngoại trừ các
khái niệm không ghìm chặt như một số cụ thể. Nếu δ là một ước số chung lớn nhất của α
và β, như vậy là (ít nhất) của nó bội đơn vị -δ, iδ, và -iδ. Có lẽ có rất lớn khác
ước chung; chúng tôi chỉ không biết nữa. (Chúng tôi sẽ tìm hiểu trong luỵ 4.7.) Chúng ta có thể
nói về một ước chung lớn nhất, nhưng không phải là ước số chung lớn nhất. Một tương tự
gaussian số nguyên 7
technicality sẽ xảy ra trong Z nếu chúng ta định nghĩa ước chung lớn nhất là một ước chung
với giá trị tuyệt đối lớn nhất, chứ không phải là ước số chung lớn nhất tích cực. Không có
tương tự của dương trong Z [i] (ít nhất là trong khóa học này), vì vậy chúng tôi đang mắc kẹt với các khái niệm
các ước chung lớn nhất luôn luôn mơ hồ ít nhất một đơn vị nhiều.