Let X and Y be identically distribu

Let X and Y be identically distributed independent random variables such that the
moment generating function of X + Y is
MX +Y (t) = 0.09e−2t + 0.24e−t + 0.34 + 0.24et + 0.09e
2t
for −∞ < t < +∞. Calculate Pr(X ≤ 0).
A. 0.33 B. 0.34 C. 0.50 D. 0.67 E. 0.70
Solution.
Note that because of independence of X and Y, MX +Y (t) = MX (t)⋅ MY (t). But
MX (t) = MY (t), so that MX +Y (t) = MX ( (t))
2
. This means that we can find MX (t) by
expressing MX +Y (t) as a square of an expression, which can be identified as an MGF of
a probability distribution. We work carefully on writing MX +Y (t) as a square of another
expression:
MX+Y (t) = 0.09e−2t + 0.24e−t + 0.34 + 0.24et + 0.09e
2t =
= 0.3et ( )
2
+ 0.3e−t ( )
2
+ 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e−t − 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e−t
=0.18
 + 0.24e−t + 0.34 + 0.24et =
= 0.3et ( )
2
+ 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e−t + 0.3e−t ( )
2
+ 0.24e−t + 0.16 + 0.24et =
= 0.3et ( )
2
+ 0.3e−t ( )
2
+ 0.42 + 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e−t + 2 ⋅ 0.3e−t
⋅ 0.4 + 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.4 =
= 0.3et + 0.4 + 0.3e−t ( )
2
.
But since MX +Y (t) = MX ( (t))
2
, we see immediately that
MX (t) = 0.3et + 0.4 + 0.3e−t = 0.3e
1⋅t + 0.4e
0⋅t + 0.3e−1⋅t
.
This means that
X =
1 with probability 0.3,
0 with probability 0.4,
−1 with probability 0.3.
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
We conclude that
Pr(X ≤ 0) = Pr(X = −1) + Pr(X = 0) = 0.4 + 0.3 = 0.7.
Answer E. You could also observe, based on the form of the MGF of X + Y that
X + Y =
−2 with probability 0.09,
−1 with probability 0.24,
0 with probability 0.34,
1 with probability 0.24,
2 with probability 0.09,
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
and the fact that X and Y have identical distribution, that the only integers that when
added to themselves produce values on the above list are: 0 + 0 = 0, (–1) + (–1) = –2, 1 +
1 = 2, so that the most reasonable candidates for values of X or Y are: –1, 0, 1. Then note
that –2 = (–1) + (–1), –1 = (–1) + 0 = 0 + (–1), 0 = 0 + 0 = (–1) + 1 = 1 + (–1), 1 = 1 + 0
= 0 + 1, and 2 = 1 + 1, and we conclude that
X = Y =
1 with probability 0.3, because 0.3⋅0.3 = 0.09,
0 with probability 0.4, because 0.4 ⋅0.4 + 0.3⋅0.3+ 0.3⋅0.3 = 0.34,
−1 with probability 0.3, because 0.3⋅0.3 = 0.09.
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Note that –1 = (–1) + 0 = 0 + (–1), 0 is also confirmed with 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0.24, just
as 1 = 1 + 0 = 0 + 1 is confirmed with 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0.24. And then, of course, we
get the answer Pr(X ≤ 0) = Pr(X = −1) + Pr(X = 0) = 0.4 + 0.3 = 0.7. This second method
of solution is something of a guess, but then the guess is verified by calculation. You
might wonder how you can guess this. The key is realizing what integers added to
themselves give you values of X + Y, and then following up on that, to verify that
everything works.

Kết quả (Việt) 1:

Cho X và Y là biến ngẫu nhiên độc lập hệt phân phối như vậy mà cácthời điểm tạo ra các chức năng của X + Y làMX + Y (t) = 0.09e−2t + 0.24e−t + 0,34 + 0.24et + 0.09e2Tcho −∞ < t < + ∞. tính toán Pr (X ≤ 0).A. 0,33 E. B. 0,34 C. 0,50 MẤT 0,67 0,70Giải pháp.Lưu ý rằng vì độc lập của X và Y, MX + Y (t) = ⋅ MX (t) (t) của tôi. NhưngMX (t) = MY (t), vì vậy mà MX + Y (t) = MX ((t))2. Điều này có nghĩa rằng chúng tôi có thể tìm thấy MX (t) bằngbiểu diễn MX + Y (t) như là một hình vuông của một biểu hiện, mà có thể được xác định là một MGF củamột phân bố xác suất. Chúng tôi làm việc một cách cẩn thận trên văn bản MX + Y (t) như là một hình vuông của người khácbiểu hiện:MX + Y (t) = 0.09e−2t + 0.24e−t + 0,34 + 0.24et + 0.09e2T == 0.3et)2+ 0.3e−t)2+ 2 ⋅ 0.3et⋅ 0.3e−t − 2 ⋅ 0.3et⋅ 0.3e−t= 0,18 + 0.24e−t + 0,34 + 0.24et == 0.3et)2+ 2 ⋅ 0.3et⋅ 0.3e−t + 0.3e−t)2+ 0.24e−t + 0,16 + 0.24et == 0.3et)2+ 0.3e−t)2+ 0,42 + 2 ⋅ 0.3et⋅ 0.3e−t + 2 ⋅ 0.3e−t⋅ 0.4 + 2 ⋅ 0.3et⋅ 0,4 == 0.3et + 0,4 + 0.3e−t)2.Nhưng kể từ khi MX + Y (t) = MX ((t))2, chúng ta thấy ngay rằngMX (t) = 0.3et + 0,4 + 0.3e−t = 0.3e1⋅t + 0.4e0⋅t + 0.3e−1⋅t.Điều này có nghĩa làX =1 với xác suất 0.3,0 với xác suất 0.4,−1 với xác suất 0,3.⎧⎨⎪⎩⎪Chúng tôi kết luận rằngQuan hệ công chúng (X ≤ 0) = Pr(X = −1) + Pr(X = 0) = 0,4 + 0,3 = 0,7.E. câu trả lời Bạn cũng có thể quan sát, dựa trên hình thức MGF X + Y đóX + Y =−2 với xác suất 0,09,−1 với xác suất 0,24,0 với xác suất 0,34,1 với xác suất 0,24,2 với xác suất 0,09,⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪và thực tế là X và Y có phân phối giống hệt nhau, rằng các số nguyên chỉ rằng khibổ sung vào bản thân các giá trị sản phẩm trong danh sách ở trên là: 0 + 0 = 0, (–1) + (–1) = –2, 1 +1 = 2, do đó các ứng cử viên hợp lý nhất cho giá trị của X hoặc Y là: –1, 0, 1. sau đó lưu ýđó –2 = (–1) + (–1), –1 (–1) = + 0 = 0 + (–1), 0 = 0 + 0 = (–1) + 1 = 1 + (–1), 1 = 1 + 0= 0 + 1, và 2 = 1 + 1, và chúng tôi kết luận rằngX = Y =1 với xác suất 0,3, vì 0.3⋅0.3 = 0,09,0 với xác suất 0.4, bởi vì cách 0.4 ⋅0.4 + 0.3⋅0.3+ 0.3⋅0.3 = 0,34,−1 với xác suất 0,3, vì 0.3⋅0.3 = 0,09.⎧⎨⎪⎩⎪Lưu ý rằng –1 = (–1) + 0 = 0 + (–1), 0 cũng đã xác nhận với 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0,24, chỉnhư 1 = 1 + 0 = 0 + 1 là khẳng định với 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0,24. Và sau đó, tất nhiên, chúng tôinhận được câu trả lời quan hệ công chúng (X ≤ 0) = Pr(X = −1) + Pr(X = 0) = 0,4 + 0,3 = 0,7. Phương pháp thứ hai nàygiải pháp là một cái gì đó của một đoán, nhưng sau đó các đoán được xác minh bởi tính toán. Bạncó thể tự hỏi làm thế nào bạn có thể đoán điều này. Quan trọng là nhận ra những gì nguyên thêm vàomình cung cấp cho bạn giá trị của X + Y, và sau đó theo dõi trên đó, để xác minh rằngTất cả mọi thứ hoạt động.

Kết quả (Việt) 2:

Hãy để X và Y được phân phối hệt các biến ngẫu nhiên độc lập như vậy mà
thời điểm tạo ra chức năng của X + Y là
MX + Y (t) = 0.09e-2t + 0.24e-t + 0,34 + 0.24et + 0.09e
2t
cho -∞ < t <+ ∞. Tính Pr (X ≤ 0).
A. 0.33 B. 0,34 C. 0,50 D. 0,67 E. 0.70
Solution.
Lưu ý rằng vì độc lập của X và Y, MX + Y (t) = MX (t) ⋅ MY (t). Nhưng
MX (t) = MY (t), do đó MX + Y (t) = MX ((t))
2
. Điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể tìm thấy MX (t) bằng cách
bày tỏ MX + Y (t) là một hình vuông của một biểu thức, có thể được xác định là một MGF của
một phân bố xác suất. Chúng tôi làm việc một cách cẩn thận về việc ghi MX + Y (t) là một hình vuông của một
biểu thức:
MX + Y (t) = 0.09e-2t + 0.24e-t + 0,34 + 0.24et + 0.09e
2t =
= 0.3et ()
2
+ 0.3e-t ()
2
+ 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e-t - 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e-t
= 0,18
 + 0.24e-t + 0,34 + 0.24et =
= 0,3 et ()
2
+ 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e-t + 0.3e-t ()
2
+ 0.24e-t + 0,16 + 0.24et =
= 0.3et ()
2
+ 0.3e-t ()
2
+ 0,42 + 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0.3e-t + 2 ⋅ 0.3e-t
⋅ 0,4 + 2 ⋅ 0.3et
⋅ 0,4 =
= 0.3et + 0,4 + 0.3e-t ()
2
.
Nhưng kể từ MX + Y (t) = MX ((t))
2
, chúng ta thấy ngay rằng
MX (t) = 0.3et + 0,4 + 0.3e-t = 0.3e
1⋅t + 0.4e
0⋅t + 0.3e-1⋅t
.
Điều này có nghĩa là
X =
1 với xác suất 0.3,
0 với xác suất 0,4,
-1 với xác suất 0.3.
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Chúng tôi kết luận rằng
Pr (X ≤ 0) = Pr (X = -1) + Pr (X = 0) = 0,4 + 0,3 = 0.7.
trả lời E. Bạn cũng có thể quan sát, dựa trên hình thức của MGF X + Y mà
X + Y =
-2 với xác suất 0,09,
-1 với xác suất 0,24,
0 với xác suất 0,34,
1 với xác suất 0,24,
2 với xác suất 0.09,
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
và thực tế là X và Y có phân bố giống hệt nhau, rằng các số nguyên duy nhất mà khi
thêm vào chính mình sản xuất giá trị trong danh sách trên là: 0 + 0 = 0, (-1) + (-1) = -2, 1 +
1 = 2, do đó các ứng cử viên hợp lý nhất cho các giá trị của X hoặc Y là: -1, 0, 1. Sau đó, lưu ý
rằng -2 = (-1) + (-1 ), -1 = (-1) + 0 = 0 + (-1), 0 = 0 + 0 = (-1) + 1 = 1 + (-1), 1 = 1 + 0
= 0 + 1, và 2 = 1 + 1, và chúng tôi kết luận rằng
X = Y =
1 với xác suất 0.3, vì 0.3⋅0.3 = 0,09,
0 với xác suất 0.4, vì 0,4 ⋅0.4 + 0.3⋅0.3 + 0.3⋅0.3 = 0,34,
-1 với xác suất 0.3, vì 0.3⋅0.3 = 0,09.
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Lưu ý rằng -1 = (-1) + 0 = 0 + (-1), 0 cũng được xác nhận với 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0,24, chỉ
như 1 = 1 + 0 = 0 + 1 được xác nhận với 0.3⋅0.4 + 0.4⋅0.3 = 0,24. Và sau đó, tất nhiên, chúng tôi
nhận được câu trả lời Pr (X ≤ 0) = Pr (X = -1) + Pr (X = 0) = 0,4 + 0,3 = 0,7. Phương pháp thứ hai này
của giải pháp là một cái gì đó của một đoán, nhưng sau đó đoán được xác nhận qua sự tính toán. Bạn
có thể tự hỏi làm thế nào bạn có thể đoán này. Điều quan trọng là nhận ra những gì số nguyên thêm vào
bản thân cho bạn những giá trị của X + Y, và sau đó theo dõi trên đó, để xác minh rằng
tất cả mọi thứ hoạt động.