the conditions of Strang’s theorem

the conditions of Strang’s theorem are not fulfilled, and linear stability
theory no longer guarantees convergence. Consequently, a tremendous
amount of effort has been placed on the development of high order spatial
discretizations which, when coupled with the forward Euler time stepping
method, have the desired nonlinear stability properties for approximating
the discontinuous solutions of hyperbolic PDEs.
When solving time dependent PDEs such as the hyperbolic conservation
law of the form ut + f (u)x = 0, the spatial derivative f (u)x is discretized
by a carefully chosen nonlinearly stable finite difference or finite
element approximation, [e.g. 3, 11, 18, 21, 23, 35, 36] to obtain a semidiscrete
method of lines scheme. If the spatial discretization to f (u)x is
denoted −L(u), and we let u represent the vector of values in space, the
PDE above becomes an ordinary differential equation (ODE) system in
time ut = L(u), which can be solved by an ODE solver. The discretization
L is chosen so that the stability properties of the spatial discretization
are guaranteed when used with the first order forward Euler method
as the ODE solver for a sufficiently small time step dictated by the CFL
condition.
However, for actual computation higher order time discretizations are
usually needed, and there is no guarantee that the nonlinearly stable spatial
discretization would necessarily produce stable results when coupled
with a linearly stable higher order time discretization. In fact, numerical
evidence [7, 8] shows that oscillations may occur when using a linearly
stable, high-order method, which does not preserve the stability properties
of forward Euler, even if the same spatial discretization is TVD when
combined with the first-order forward Euler time-discretization. This is a
compelling reason to develop and use time discretization methods which
preserve the stability properties of forward Euler.
Strong stability preserving (SSP) time discretization methods were
developed to address the need for nonlinear stability properties in the time
discretization, as well as the spatial discretization, of hyperbolic PDEs.
The idea behind SSP methods is to assume that the first order forward
Euler time discretization of the method of lines ODE is strongly stable
under a certain norm, when the time step Δt is suitably restricted, and
then try to find a higher order time discretization (Runge–Kutta or multi
step) that maintains strong stability for the same norm, perhaps under a
different time step restriction. The class of high order SSP time discretization
methods for the semi-discrete method of lines approximations of
PDEs was developed in [28, 29] and called TVD (Total Variation Diminishing)
time discretizations. This class of methods was further studied in
[6, 7, 14, 25–27, 30, 31]. These methods preserve the stability properties
of forward Euler in any norm or semi norm. In fact, since the stability

Kết quả (Việt) 1:

Các điều kiện của định lý của Strang là không ổn định hoàn thành, và tuyến tínhlý thuyết không còn đảm bảo hội tụ. Do đó, một to lớnsố lượng các nỗ lực đã được đặt trên sự phát triển của cao trật tự không giandiscretizations đó, khi kết hợp với thời gian Euler tiếp bướcphương pháp, có mong muốn sự ổn định phi tuyến tính cho sốCác giải pháp gián đoạn của hyperbol PDEs.Khi giải quyết thời gian phụ thuộc vào PDEs như bảo tồn hyperbolpháp luật của các hình thức ut + f (u) x = 0, f bắt nguồn từ không gian (u) x discretizedbởi được lựa chọn cẩn thận nonlinearly ổn định, sự khác biệt hữu hạn hay hữu hạnphần tử xấp xỉ, [ví dụ: 3, 11, 18, 21, 23, 35, 36] để có được một semidiscretephương pháp sơ đồ dây chuyền. Nếu không gian discretization f (u) x làkí hiệu là −L(u), và chúng tôi cho u đại diện cho các véc tơ của các giá trị trong không gian, cácPDE trên trở thành một hệ thống phương trình vi phân thường (ODE)thời gian ut = L(u), mà có thể được giải quyết bằng một thơ ca NGỢI solver. DiscretizationL được chọn để tính ổn định của không gian discretizationđược bảo đảm khi sử dụng với đơn đặt hàng phía trước Euler phương pháp đầu tiênnhư ODE solver cho bước thời gian nhỏ đủ quyết định bởi CFLcó điều kiện.Tuy nhiên, đối với tính toán thực tế là cao thứ tự thời gian discretizationsthường cần thiết, và không có bảo đảm rằng ổn định nonlinearly không giandiscretization nào nhất thiết phải tạo ra kết quả ổn định khi kết hợpvới một tuyến tính ổn định cao thứ tự thời gian discretization. Trong thực tế, sốbằng chứng [7, 8] cho thấy dao động có thể xảy ra khi sử dụng một tuyến tínhphương pháp ổn định, trật tự cao, không giữ lại các thuộc tính ổn địnhcủa Euler phía trước, ngay cả khi cùng một không gian discretization là TVD khikết hợp với đơn đặt hàng đầu tiên chuyển tiếp Euler thời gian-discretization. Đây là mộthấp dẫn lý do để phát triển và sử dụng thời gian discretization phương pháp đóduy trì tính ổn định của chuyển tiếp Euler.Sự ổn định mạnh mẽ bảo vệ thời gian (SSP) discretization phương phápphát triển đến địa chỉ cần thiết cho sự ổn định phi tuyến tính trong thời giandiscretization, cũng như không gian discretization, của hyperbol PDEs.Ý tưởng đằng sau phương pháp SSP là giả định rằng lệnh đầu tiên chuyển tiếpEuler lần discretization của phương pháp của dòng thơ ca NGỢI là ổn định mạnh mẽtheo một chuẩn mực nhất định, khi Δt bước thời gian là bị giới hạn phù hợp, vàsau đó cố gắng tìm một cao thứ tự thời gian discretization (Runge-Kutta hoặc đabước) mà duy trì ổn định cho chuẩn giống nhau, có lẽ là dưới mộtcác hạn chế bước thời gian khác nhau. Thời gian lớp học của trật tự cao SSP discretizationCác phương pháp đối với phương pháp bán rời rạc của dòng xấp xỉ củaPDEs được phát triển vào [28, 29] và được gọi là TVD (tổng số biến thể giảm dần)thời gian discretizations. Lớp này của phương pháp này đã được nghiên cứu thêm trong[6, 7, 14, 25-27, 30, 31]. Những phương pháp bảo quản tài sản ổn địnhcủa Euler chuyển tiếp tại bất kỳ tiêu chuẩn hoặc bán chuẩn. Trong thực tế, kể từ khi sự ổn định

Kết quả (Việt) 2:

các điều kiện của định lý Strang của không được đáp ứng, và sự ổn định tuyến tính
lý thuyết không còn đảm bảo hội tụ. Do đó, một to lớn
số lượng nỗ lực đã được đặt trên sự phát triển của tự cao không gian
discretizations đó, khi kết hợp với những mong Euler thời gian bước
phương pháp, đã mong muốn tính ổn định phi tuyến cho xấp xỉ
các giải pháp liên tục của PDEs hyperbol.
Khi giải PDEs phụ thuộc thời gian chẳng hạn như việc bảo tồn hyperbol
pháp luật của các hình thức ut + f (u) x = 0, đạo hàm không gian f (u) x được rời rạc hóa
bởi sự khác biệt được lựa chọn cẩn thận phi tuyến ổn định hữu hạn hay hữu hạn
xấp xỉ phần tử, [ví dụ: 3, 11, 18, 21, 23, 35, 36] để có được một semidiscrete
phương pháp sơ đồ dòng. Nếu rời rạc không gian để f (u) x là
ký hiệu -L (u), và chúng ta để cho u đại diện cho các giá trị vector trong không gian, các
PDE trên trở thành một phương trình vi phân thông thường hệ thống (ODE) trong
thời gian ut = L (u) , có thể được giải quyết bằng một giải ODE. Việc rời rạc
L được chọn sao cho tính ổn định của rời rạc không gian
được đảm bảo khi sử dụng với các lệnh đầu tiên về phía trước phương pháp Euler
là người giải quyết ODE cho một bước thời gian đủ nhỏ quyết định bởi CFL
điều kiện.
Tuy nhiên, việc tính toán thực tế bậc cao discretizations thời gian được
thường là cần thiết, và không có đảm bảo rằng không gian tuyến tính ổn định
rời rạc nhất thiết sẽ tạo ra kết quả ổn định khi kết hợp
với một bậc cao hơn thời gian rời rạc tuyến tính ổn định. Trong thực tế, số
bằng chứng [7, 8] cho thấy dao động có thể xảy ra khi sử dụng một tuyến tính
, phương pháp cao để ổn định, mà không bảo toàn tài sản ổn định
của tiếp Euler, thậm chí nếu rời rạc không gian cùng là TVD khi
kết hợp với các đầu tiên -order chuyển Euler thời gian rời rạc. Đây là một
lý do thuyết phục để phát triển và sử dụng các phương pháp rời rạc thời gian mà
bảo toàn tài sản ổn định của tiếp Euler.
Ổn định mạnh mẽ bảo quản (SSP) phương pháp rời rạc thời gian đã được
phát triển để giải quyết nhu cầu cho tính ổn định phi tuyến trong thời gian
rời rạc, cũng như không gian rời rạc, các PDEs hyperbol.
ý tưởng đằng sau phương pháp SSP là giả định rằng các lệnh đầu tiên về phía trước
Euler thời gian rời rạc của các phương pháp dòng ODE là ổn định mạnh mẽ
dưới một mức nhất định, khi bước thời gian Δt được giới hạn phù hợp, và
sau đó cố gắng tìm một cao hơn thời gian để rời rạc (Runge-Kutta hoặc đa
bước) duy trì sự ổn định mạnh mẽ về định mức tương tự, có lẽ dưới một
giới hạn thời gian bước khác nhau. Các lớp của bậc cao SSP thời gian rời rạc
phương pháp cho các phương pháp bán rời rạc của dòng xấp xỉ của
PDEs đã được phát triển trong [28, 29] và được gọi là TVD (Tổng Biến thể giảm bớt)
discretizations thời gian. Lớp này các phương pháp đã được tiếp tục nghiên cứu trong
[6, 7, 14, 25-27, 30, 31]. Những phương pháp bảo quản tài sản ổn định
của tiếp Euler trong bất kỳ tiêu chuẩn hoặc mức bán. Trong thực tế, kể từ khi sự ổn định