It is usually easiest to solve a co

It is usually easiest to solve a congruence with a composite modulus by first solving several congruences modulo primes (or prime powers) and then fitting together the solutions using the Chinese remainder theorem. We illustrate the principle in this section by discussing the problem of finding square roots modulo m. It turns out that it is relatively easy to compute square roots modulo a prime. Indeed, for primes congruent to 3 modulo 4, it is extremely easy to find square roots, as shown by the following proposition.
Proposition 2.27. Let p be a prime satisfying p ≡ 3 (mod 4). Let a be an integer such that the congruence x2 ≡ a (mod p) has a solution, i.e., such that a has a square root modulo p. Then
b ≡ a(p+1)/4 (mod p)
is a solution; it satisfies b2 ≡ a (mod p). (N.B. This formula is valid only if a has a square root modulo p. In Section 3.9 we will describe an efficient method for checking which numbers have square roots modulo p.)

Kết quả (Việt) 1:

Nó là thường dễ nhất để giải quyết một congruence với một modul composite bởi lần đầu tiên giải quyết một số hình theo modulo số nguyên tố (hoặc quyền hạn nguyên tố) và sau đó phù hợp với nhau các giải pháp bằng cách sử dụng định lý Trung Quốc còn lại. Chúng tôi minh họa cho các nguyên tắc trong phần này của thảo luận về vấn đề của việc tìm kiếm square rễ modulo m. Nó chỉ ra rằng nó là tương đối dễ dàng để tính toán square rễ modulo một thủ tướng chính phủ. Thật vậy, cho số nguyên tố đồng dư 3 theo modulo 4, nó là rất dễ dàng để tìm thấy nguồn gốc square, như thể hiện bởi các đề xuất sau đây.Döï Luaät 2,27. Cho p là một đáp ứng nguyên tố p ≡ 3 (mod 4). Cho phép một là một số nguyên như vậy mà ≡ congruence x 2 một (mod p) có một giải pháp, tức là, như vậy mà một có một p. square modulo sau đó b ≡ a(p+1)/4 (mod p)là một giải pháp; nó đáp ứng b2 ≡ một (mod p). (NB Công thức này là hợp lệ chỉ khi một có một quảng trường modulo p. Trong phần 3.9 chúng tôi sẽ mô tả một phương pháp hiệu quả cho việc kiểm tra số đó có quảng trường gốc rễ modulo p.)

Kết quả (Việt) 2:

Nó thường là dễ nhất để giải quyết một Tương ứng với một mô đun hỗn hợp bằng cách đầu tiên giải quyết một số đồng dư modulo nguyên tố (hoặc quyền hạn số nguyên tố) và sau đó phù hợp các giải pháp sử dụng các lý phần còn lại của Trung Quốc. Có thể minh họa nguyên tắc trong phần này bằng cách thảo luận các vấn đề của việc tìm kiếm nguồn gốc vuông modulo m. Nó chỉ ra rằng nó là tương đối dễ dàng để tính căn bậc hai theo modulo một nguyên tố. Thật vậy, các số nguyên tố đồng dư modulo 3 4, nó là vô cùng dễ dàng để tìm căn bậc hai, được thể hiện bằng các mệnh đề sau.
Dự 2.27. Cho p là một số nguyên tố thoả mãn p ≡ 3 (mod 4). Hãy để một là một số nguyên như vậy mà x2 congruence ≡ a (mod p) có một giải pháp, tức là, như vậy một có một hình vuông gốc modulo p. Sau đó
b ≡ a (p + 1) / 4 (mod p)
là một giải pháp; nó đáp ứng b2 ≡ a (mod p). (NB Công thức này chỉ có hiệu lực nếu có một hình vuông gốc modulo p. Trong phần 3.9 chúng ta sẽ mô tả một phương pháp hiệu quả để kiểm tra số đó có vuông rễ modulo p.)