Let's do one more: suppose that the

Let's do one more: suppose that there are two heaps with two coins each. Now player B has a winning strategy. If A takes an entire heap, then B should take the remaining heap and win. If A takes only one coin of one of the heaps, then we are in the same situation as in the previous example, with B to go first. Therefore, B is guaranteed to win if she takes one coin from the two-coin heap.

From this series of examples you can't help but feel that there is some sort of pattern here: that there should be some sort of clever trick that tells you for a given arrangement of coins and heaps whether there is a winning strategy for one of the players. The American mathematician Charles Bouton (1869-1922) felt the same and set himself the daunting task of analysing the game completely. In 1902 he found the trick — and it's subtle! To figure out whether there is a winning strategy and for which player, you first need to...

Go binary

The secret is to write the sizes of the heaps as binary numbers (if you already know how to do this, skip this part.) To see how to do this, let's first remind ourselves of how the ordinary decimal way of writing numbers works. Let's take the number 4302 as an example. The digit 4 in this number doesn't stand for the number 4, rather it stands for 4000, or 4 x 1000. Similarly, 3 doesn't stand for 3 but for 300 = 3 x 100, 0 stands for 0 x 10, and 2 stands for 2 x 1. So 4302 means

4 x 1000 + 3 x 1000 + 0 x 10 + 2 x 1.

Similarly, 7396 stands for

7 x 1000 + 3 x 100 + 9 x 10 + 6 x 1.

What do the numbers 1000, 100, 10 and 1, which appear in these expressions, have in common? They are all powers of 10:

1000 = 103
100 = 102
10 = 101
1 = 100.

To write a number in decimal notation, you first write it as a sum of consecutive powers of 10 (with the largest power on the left) and then pull out the coefficients of these powers. We can do the same with powers of 2 rather than 10. For example, the binary number 110 stands for

1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 4 + 2 +0 = 6 (written in decimal).

And the binary number 10001 stands for

1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 (written in decimal).

You can convince yourself that a binary number only consists of the digits 0 or 1: when you write a number as a sum of consecutive powers of 2, no other coefficients are necessary.

Adding the Nim way

Kết quả (Việt) 1:

Chúng ta hãy làm một chi tiết: giả sử rằng có hai đống với hai tiền xu mỗi. Bây giờ chơi B có một chiến lược chiến thắng. Nếu một mất một đống toàn bộ, sau đó B nên dùng heap còn lại và giành chiến thắng. Nếu một mất chỉ có một đồng xu của một trong những đống, sau đó chúng tôi đang trong tình trạng tương tự như trong ví dụ trước, với B để đi đầu tiên. Do đó, B là bảo đảm để giành chiến thắng nếu cô mất một xu từ đống hai đồng xu.Từ này loạt các ví dụ bạn không thể không cảm thấy rằng có một số loại mô hình ở đây: rằng không nên có một số loại thông minh lừa mà nói với bạn cho một sắp xếp nhất định của tiền xu và heaps cho dù đó là một chiến lược chiến thắng cho một trong những người chơi. Nhà toán học người Mỹ Charles Bouton (1869-1922) cảm thấy như nhau và đặt mình nhiệm vụ khó khăn của phân tích các trò chơi hoàn toàn. Năm 1902, ông tìm thấy bí quyết- và nó là tinh tế! Để tìm ra cho dù đó là một chiến lược chiến thắng và nhất mà người chơi, trước tiên bạn cần để...Đi nhị phânBí quyết là để viết các kích thước của đống là nhị phân số (nếu bạn đã biết làm thế nào để làm điều này, bỏ qua phần này.) Để xem làm thế nào để làm điều này, hãy đầu tiên nhắc nhở bản thân của thập phân cách thông thường bằng văn bản số như thế. Chúng ta hãy số 4302 là một ví dụ. Số 4 trong số này không đứng cho số 4, thay vì nó là viết tắt của 4000, hoặc 4 x 1000. Tương tự như vậy, 3 không đứng cho 3 nhưng cho 300 = 3 x 100, là viết tắt 0 0 x 10, và 2 là viết tắt của 2 x 1. Do đó, có nghĩa là 43024 x 1000 + 3 x 1000 + 0 x 10 + 2 x 1.Tương tự, 7396 là viết tắt của7 x 1000 + 3 x 100 + 9 x 10 + 6 x 1.Những gì làm những con số 1000, 100, 10 và 1, xuất hiện trong các biểu hiện, có điểm chung? Họ là tất cả các quyền hạn của 10:1000 = 103100 = 10210 = 1011 = 100.Để viết một số ký hiệu thập phân, bạn đầu tiên viết nó như là một tổng của liên tiếp quyền hạn của 10 (với sức mạnh lớn nhất ở bên trái) và sau đó kéo ra khỏi các hệ số của những quyền hạn. Chúng tôi có thể làm như vậy với các quyền hạn của 2 chứ không phải là 10. Ví dụ, số nhị phân 110 là viết tắt của1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 4 + 2 + 0 = 6 (viết bằng chữ số thập phân).Và số nhị phân 10001 là viết tắt của1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 (bằng văn bản trong thập phân).Bạn có thể thuyết phục mình rằng một số nhị phân chỉ bao gồm các chữ số 0 hoặc 1: khi bạn viết một số là một số các quyền hạn liên tiếp của 2, không có hệ số khác là cần thiết.Thêm đường Nim

Kết quả (Việt) 2:

Hãy làm một hơn: giả sử rằng có hai đống với hai đồng tiền mỗi. Bây giờ người chơi B có một chiến lược chiến thắng. Nếu A mất cả một đống, sau đó B nên đống còn lại và giành chiến thắng. Nếu A chỉ mất một đồng xu của một trong các đống đổ nát, sau đó chúng tôi đang trong tình trạng tương tự như trong các ví dụ trước, với B để đi đầu tiên. Do đó, B là bảo đảm để giành chiến thắng nếu cô ấy có một đồng xu từ đống hai đồng xu. Từ loạt bài này của ví dụ bạn không thể không cảm thấy rằng có một số loại mô hình ở đây: đó có phải là một số loại thủ thuật thông minh mà cho bạn cho một sự sắp xếp cho những đồng tiền và heaps liệu có một chiến lược chiến thắng với một trong các cầu thủ. Các nhà toán học người Mỹ Charles Bouton (1869-1922) cũng cảm thấy như chính mình và thiết lập các nhiệm vụ khó khăn trong việc phân tích các trò chơi hoàn toàn. Trong năm 1902, ông tìm thấy các mẹo - và đó là tinh tế! Để tìm hiểu xem có một chiến lược chiến thắng và cho mà chơi, trước tiên bạn cần ... Tới nhị phân bí mật là để viết các kích thước của đống như số nhị phân (nếu bạn đã biết làm thế nào để làm điều này, bỏ qua phần này. ) Để xem làm thế nào để làm điều này, trước tiên hãy nhắc nhở mình về cách cách thập phân thông thường của số văn bản tác phẩm. Hãy lấy số 4302 là một ví dụ. Các chữ số 4 trong số này không đứng cho số 4, thay vì nó là viết tắt của 4000, hoặc 4 x 1000. Tương tự như vậy, 3 không đứng cho 3 nhưng cho 300 = 3 x 100, 0 thay cho 0 x 10, và 2 là viết tắt của 2 x 1. Vì vậy, 4302 là 4 x 1000 x 1000 + 3 + 0 x 10 + 2 x 1. Tương tự như vậy, 7396 tượng trưng cho 7 x 1000 + 3 x 100 + 9 x 10 + 6 x 1. Điều gì làm các số 1000, 100, 10 và 1, xuất hiện trong các biểu thức, có điểm gì chung? Họ là tất cả các quyền hạn của 10: 1000 = 103 100 = 102 10 = 101 1 = 100. Để viết một số trong ký hiệu thập phân, đầu tiên bạn viết nó như là một khoản tiền của, quyền hạn liên tiếp 10 (với sức mạnh lớn nhất bên trái) và sau đó kéo ra các hệ số của các cường quốc. Chúng tôi có thể làm tương tự với quyền hạn của 2 chứ không phải là 10 Ví dụ, các số nhị phân 110 khán đài cho 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 4 + 2 + 0 = 6 (viết bằng chữ số thập phân). Và các nhị phân số 10001 là viết tắt của 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 (viết bằng chữ số thập phân). Bạn có thể thuyết phục bản thân rằng một số nhị phân chỉ bao gồm các chữ số 0 hoặc 1: khi bạn viết một số bằng tổng của quyền hạn liên tiếp 2, không có hệ số khác là cần thiết. Thêm cách Nim