notice that in the last case, the n

notice that in the last case, the number didn't represent small fraction, but it was bigger than we could represent with a 32 bit signed integer. the alternative notation for the last two numbers is called Scientific notation, which has a single digit to the left of the decimal point. A number in scientific natation that has no leading 0s is called a normailzed number, which is the usual way to write it. For example, 1.0 X 10 is in normalized scientific notation, but 0.1 X 0.8 and 10.0 X 10 are not.
Just as we can show decimal number in scientific notation, we can also show binary numbers in scientific notation:
To keep a binary number in normalized form, we need a base that we can increase or decrease by exactly the number of bits the number must be shifted to have one nonzero digit to the left of the decimal point. Only a base of 2 full fills our need. Since the base is not 10, we also need a new name for decimal point. Binary point will do fine.
Computer arithmetic that supports such numbers is called floating point because it represent numbers in which the binary point is not fixed, as it is for integers. The programming language C uses the name float for such numbers. Just as in scientific natation, numbers are represented as a single nonzero digit to the left of the binary point. In binary the form is
1.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



(although the computer represents the exponent in base 2 as well as the rest of the number, to simplify the notation we show the exponent in decimal.)
a standard scientific notation for reals in normalized form offers three advantages. It simplifies exchange of data that includes floating point number: it simplifies the floating-point arithmetic algorithms to known that numbers will always be in this form. and it increases the accuracy of the number that can be stored in a word, since the unnecessary leading 0s are replaced by real digits to the right of the binary point.
Floating point representation.
a designer of floating-point representation must find a compromise between the size of the fraction and the size of the exponent, because a fixed word size means you must take a bit from one to add bit to the other. This tradeoff is between precision and range; Increasing the size of the fraction enhances the precision of the fraction, while increasing the size of the exponent increases the range of the number thar can be represented. As our design guideline from chapter 2 remind us. good design demand good compromise.
Floating-point numbers are usually a multiple of the size of a word. The representation of a MipS floating-point number is shown below, where is the sign of the floating-point number( one meaning negative) exponent is the value of the 8-bit exponent field and fraction is the 23-BIT NUMBER. tHIS REPRESENTATION is called sign and magnitude, since the sign is a separate bit from the rest of the number............................................................................................
In general, floating-point numbers are of the form
(-1 ) XFX2

F involves the value in the fraction field and E involvesthe value the exponent field.. the exact relationship to these fields will be spelled out soon. ( we will shortly see that MIPS does something slightly more sophisticated )
These chosen sizes of exponent and fraction give MIPS computer arithmetic an extraordinary range. Fraction almost as large as 2.0X 10 and numbers almost as large 2.0 X10 can be represented in a computer. Alas, extraordinary differs from infinite, so it is still possible for number to be too large. Thus, overflow interrupts can occur in floating-point arithmetic as well as in integer arithmetic. Notice that overflow here means that the exponent is too large to be represented in the exponent field.
Floating point offers a new kind of exceptional event as well. Just as programmers will want to known when they have calculated a number that is too large to be presented, they will want to known if the nonzero fraction they are calculating has become so small that it cannot be represented. either event could result in a program giving incorrect answers. To distinguish it from overflow, we call this event underflow. This situation occurs when negative exponent is too large to fit in the exponent field.
One way to reduce chances of underflow or overflow is to offer another format that has a larger exponent. In C this number is called double, and operation on doubles are called double precision floating-point arithmetic, single precison floating point is the name of the earlier format.
The representation of a double precision floating point number takes two MIPS words, as show below, where is still the sign of the number , exponent is the value of the 11-bit exponent field, and fraction is the 52-bit number in the fraction field.
..........................................................................................................................................................................
MIPS double precision allows numbers almost as small as 2.0X 10 and almosr as large as 2.o X 10. Although double precision does increase the exponent range. it is primary advantage is it greater precision because of the much larger signficand.
These formats go beyond MIPS. They are part of the IEEE 754 floating-point standard. found in vitually every computer invented since 1980; This standard has greatly improved both the ease of porting floating-point programs and the quality of computer arithmetic.
to pack even more bits into the significand. IEEE 754 makes the leading 1-bit of normalized binary number implicit. Hence, the number is actually 24-bits long in single precision ( implied 1 and a 23-bit fraction ) and 53 bits long in double precision . To be precise, we use the term significand to represent the 24- or 53 bit number that is 1 plus the fraction, and fraction when we mean the 23- or 52 bit number. Since 0 has no leading 1. it is given the reserved exponent value 0 so that the hardwawe won't attach a leading 1 to it.
Thus 00....0000ps represents 0. the presentation of the rest of the number uses the form from before with hidden 1 added.
(1(X 1X2E

Where the bits of the fraction represent a number between 0 and 1 E specifies the value in the exponent field. To be given in detail shortly. If we number the bits of the fraction from left to right s1,s2,s3...then the value is
(1X 2X#x4X5............)

Figure 3.14 shows the encoding of IRRR754 floating-point numbers. Other feates of IEEE 754 are special symbols to represent unsual event. For example, instead of interrupting on a divide by 0. softwawe can set the result to a bit pattern representing . the largest exponent is reserved for these special symbols. When the programer prints the results, the program will print an infinity symbol.

Kết quả (Việt) 1:

notice that in the last case, the number didn't represent small fraction, but it was bigger than we could represent with a 32 bit signed integer. the alternative notation for the last two numbers is called Scientific notation, which has a single digit to the left of the decimal point. A number in scientific natation that has no leading 0s is called a normailzed number, which is the usual way to write it. For example, 1.0 X 10 is in normalized scientific notation, but 0.1 X 0.8 and 10.0 X 10 are not.
Just as we can show decimal number in scientific notation, we can also show binary numbers in scientific notation:
To keep a binary number in normalized form, we need a base that we can increase or decrease by exactly the number of bits the number must be shifted to have one nonzero digit to the left of the decimal point. Only a base of 2 full fills our need. Since the base is not 10, we also need a new name for decimal point. Binary point will do fine.
Computer arithmetic that supports such numbers is called floating point because it represent numbers in which the binary point is not fixed, as it is for integers. The programming language C uses the name float for such numbers. Just as in scientific natation, numbers are represented as a single nonzero digit to the left of the binary point. In binary the form is
1.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



(although the computer represents the exponent in base 2 as well as the rest of the number, to simplify the notation we show the exponent in decimal.)
a standard scientific notation for reals in normalized form offers three advantages. It simplifies exchange of data that includes floating point number: it simplifies the floating-point arithmetic algorithms to known that numbers will always be in this form. and it increases the accuracy of the number that can be stored in a word, since the unnecessary leading 0s are replaced by real digits to the right of the binary point.
Floating point representation.
a designer of floating-point representation must find a compromise between the size of the fraction and the size of the exponent, because a fixed word size means you must take a bit from one to add bit to the other. This tradeoff is between precision and range; Increasing the size of the fraction enhances the precision of the fraction, while increasing the size of the exponent increases the range of the number thar can be represented. As our design guideline from chapter 2 remind us. good design demand good compromise.
Floating-point numbers are usually a multiple of the size of a word. The representation of a MipS floating-point number is shown below, where is the sign of the floating-point number( one meaning negative) exponent is the value of the 8-bit exponent field and fraction is the 23-BIT NUMBER. tHIS REPRESENTATION is called sign and magnitude, since the sign is a separate bit from the rest of the number............................................................................................
In general, floating-point numbers are of the form
(-1 ) XFX2

F involves the value in the fraction field and E involvesthe value the exponent field.. the exact relationship to these fields will be spelled out soon. ( we will shortly see that MIPS does something slightly more sophisticated )
These chosen sizes of exponent and fraction give MIPS computer arithmetic an extraordinary range. Fraction almost as large as 2.0X 10 and numbers almost as large 2.0 X10 can be represented in a computer. Alas, extraordinary differs from infinite, so it is still possible for number to be too large. Thus, overflow interrupts can occur in floating-point arithmetic as well as in integer arithmetic. Notice that overflow here means that the exponent is too large to be represented in the exponent field.
Floating point offers a new kind of exceptional event as well. Just as programmers will want to known when they have calculated a number that is too large to be presented, they will want to known if the nonzero fraction they are calculating has become so small that it cannot be represented. either event could result in a program giving incorrect answers. To distinguish it from overflow, we call this event underflow. This situation occurs when negative exponent is too large to fit in the exponent field.
One way to reduce chances of underflow or overflow is to offer another format that has a larger exponent. In C this number is called double, and operation on doubles are called double precision floating-point arithmetic, single precison floating point is the name of the earlier format.
The representation of a double precision floating point number takes two MIPS words, as show below, where is still the sign of the number , exponent is the value of the 11-bit exponent field, and fraction is the 52-bit number in the fraction field.
..........................................................................................................................................................................
MIPS double precision allows numbers almost as small as 2.0X 10 and almosr as large as 2.o X 10. Although double precision does increase the exponent range. it is primary advantage is it greater precision because of the much larger signficand.
These formats go beyond MIPS. They are part of the IEEE 754 floating-point standard. found in vitually every computer invented since 1980; This standard has greatly improved both the ease of porting floating-point programs and the quality of computer arithmetic.
to pack even more bits into the significand. IEEE 754 makes the leading 1-bit of normalized binary number implicit. Hence, the number is actually 24-bits long in single precision ( implied 1 and a 23-bit fraction ) and 53 bits long in double precision <1+52>. To be precise, we use the term significand to represent the 24- or 53 bit number that is 1 plus the fraction, and fraction when we mean the 23- or 52 bit number. Since 0 has no leading 1. it is given the reserved exponent value 0 so that the hardwawe won't attach a leading 1 to it.
Thus 00....0000ps represents 0. the presentation of the rest of the number uses the form from before with hidden 1 added.
(1(X 1X2E

Where the bits of the fraction represent a number between 0 and 1 E specifies the value in the exponent field. To be given in detail shortly. If we number the bits of the fraction from left to right s1,s2,s3...then the value is
(1X 2X#x4X5............)

Figure 3.14 shows the encoding of IRRR754 floating-point numbers. Other feates of IEEE 754 are special symbols to represent unsual event. For example, instead of interrupting on a divide by 0. softwawe can set the result to a bit pattern representing . the largest exponent is reserved for these special symbols. When the programer prints the results, the program will print an infinity symbol. <<
( For the mathetically trained. The purpose of infinity is to form topological closure of the reals )
A separate sign bit determines the sign. Denormalized number are described the ELABORA on page 270. This information is also found in Colum 4 of the MIPS re DAta cad at the front of this book.

Kết quả (Việt) 2:

nhận thấy rằng trong trường hợp cuối cùng, số lượng không đại diện cho phần nhỏ, nhưng nó đã lớn hơn chúng ta có thể biểu diễn với một số nguyên ký 32 bit. các ký hiệu thay thế cho hai số cuối cùng được gọi là ký hiệu khoa học, trong đó có một số đơn bên trái dấu thập phân. Một số trong thuật bơi lội khoa học mà không có số 0 hàng đầu được gọi là một số normailzed, đó là cách thông thường để viết nó. Ví dụ, 1.0 X 10 là trong ký hiệu khoa học bình thường, nhưng 0,1 X 0,8 và 10,0 X 10 là không.
Cũng như chúng tôi có thể hiển thị số thập phân trong ký hiệu khoa học, chúng ta cũng có thể hiển thị số nhị phân trong ký hiệu khoa học:
Để giữ cho một số nhị phân trong hình thức bình thường, chúng ta cần một cơ sở mà chúng ta có thể tăng hoặc giảm chính xác số lượng các bit số phải được chuyển sang phải một chữ số khác không đến bên trái dấu thập phân. Chỉ có một cơ sở của 2 toàn lấp đầy nhu cầu của chúng tôi. Kể từ khi cơ sở không phải là 10, chúng ta cũng cần có một cái tên mới cho điểm thập phân. Điểm nhị phân sẽ làm tốt.
số học máy tính có hỗ trợ số như vậy được gọi là điểm nổi bởi vì nó đại diện cho số trong đó điểm nhị phân là không cố định, vì nó là dành cho số nguyên. Các ngôn ngữ lập trình C sử dụng float tên cho con số như vậy. Cũng như trong thuật bơi lội khoa học, con số này được biểu diễn như là một chữ số khác không đơn bên trái của điểm nhị phân. Trong hệ nhị phân dưới dạng là
1.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (mặc dù các máy tính đại diện cho số mũ tại cơ sở 2 cũng như phần còn lại của số lượng, để đơn giản hóa các ký hiệu chúng tôi hiển thị số mũ trong hệ thập phân.) một ký hiệu khoa học tiêu chuẩn cho số thực dưới dạng bình thường cung cấp ba lợi thế. Nó đơn giản hoá trao đổi dữ liệu bao gồm nổi số điểm: nó đơn giản hóa các thuật toán số học dấu chấm động để biết rằng con số này sẽ luôn luôn ở trong hình thức này. và nó làm tăng độ chính xác của con số đó có thể được lưu trữ trong một từ, kể từ 0s hàng đầu không cần thiết được thay thế bởi các chữ số thật sự đối với bên phải dấu nhị phân. Floating điểm đại diện. một nhà thiết kế đại diện nổi-điểm phải tìm một sự thỏa hiệp giữa kích thước của các phần nhỏ và kích thước của các số mũ, bởi vì một kích thước từ cố định có nghĩa là bạn phải mất một chút từ một để thêm chút để người kia. Sự cân bằng này là giữa độ chính xác và phạm vi; Tăng kích thước của phần tăng cường công chính xác của các phần nhỏ, trong khi tăng kích thước của mũ làm tăng phạm vi của Thar số có thể được đại diện. Là phương châm thiết kế của chúng tôi từ chương 2 đã nhắc nhở. nhu cầu thiết kế tốt thỏa hiệp tốt. số Floating-point thường là một bội số của kích thước của một từ. Các đại diện của một MIPS số dấu chấm động được hiển thị bên dưới, mà là dấu hiệu của các số dấu chấm động (một ý nghĩa tiêu cực) số mũ là giá trị của các trường số mũ 8-bit







và phân số là các số 23-BIT. ĐẠI DIỆN này được gọi là dấu hiệu và độ lớn, vì các dấu hiệu là một chút riêng biệt với phần còn lại của số ............................. .................................................. .............
Nói chung, điểm nổi số có dạng
(-1) XFX2 F liên quan đến các giá trị trong lĩnh vực phần và giá trị E involvesthe trường số mũ .. các mối quan hệ chính xác để các lĩnh vực này sẽ được nêu ra sớm. (Chúng ta sẽ sớm thấy rằng MIPS làm một cái gì đó hơi phức tạp hơn) Các kích thước này được lựa chọn của số mũ và phần cung cấp cho MIPS máy tính số học một phạm vi bất thường. Phân số gần như lớn 2.0x 10 và con số gần như lớn 2.0 X10 có thể được đại diện trong một máy tính. Than ôi, có khác nhau đặc biệt từ vô hạn, vì vậy nó vẫn có thể cho con số là quá lớn. Như vậy, ngắt tràn có thể xảy ra trong nổi điểm số học cũng như trong số học số nguyên. Chú ý rằng tràn đây có nghĩa là số mũ là quá lớn để được đại diện trong trường số mũ. Floating điểm cung cấp một loại mới của sự kiện đặc biệt là tốt. Cũng như các lập trình viên sẽ muốn biết khi họ đã tính toán một số đó là quá lớn để có thể trình bày, họ sẽ muốn biết nếu các phần khác không họ đang tính toán đã trở nên quá nhỏ rằng nó không thể được đại diện. hoặc là sự kiện có thể dẫn đến một chương trình cho câu trả lời không chính xác. Để phân biệt nó từ tràn, chúng ta gọi là Van cân bằng sự kiện này. Tình trạng này xảy ra khi số mũ âm là quá lớn để vừa trong lĩnh vực số mũ. Một cách để giảm nguy cơ tràn dưới hoặc tràn là để cung cấp một định dạng mà có một số mũ lớn hơn. Trong C số này được gọi là double, và hoạt động trên đôi được gọi là độ chính xác kép nổi điểm số học, điểm nổi precison duy nhất là tên của định dạng trước đó. Các đại diện của một độ chính xác kép nổi số điểm mất hai MIPS từ, như hiển thị dưới đây , nơi vẫn còn là dấu hiệu của các số, số mũ là giá trị của các trường số mũ 11-bit, và phân số là số 52-bit trong phần độ chính xác kép cho phép số gần như là nhỏ như 2.0x 10 và almosr lớn như 2.o X 10. Mặc dù độ chính xác kép làm tăng phạm vi số mũ. đó là lợi thế chính là nó có độ chính xác cao hơn vì các signficand lớn hơn nhiều. Các định dạng vượt MIPS. Họ là một phần của IEEE 754 tiêu chuẩn nổi-điểm. được tìm thấy trong mỗi máy tính vitually phát minh từ năm 1980; Tiêu chuẩn này đã được cải thiện đáng kể cả sự dễ dàng của các chương trình porting dấu chấm động và chất lượng của số học máy tính. để đóng gói các bit thêm vào significand. IEEE 754 làm cho các hàng đầu 1-bit của số nhị phân bình thường tiềm ẩn. Do đó, số lượng thực sự là dài 24-bit trong độ chính xác đơn (ngụ ý 1 và một phần 23-bit) và 53 bit dài trong độ chính xác kép <1 + 52>. Để được chính xác, chúng tôi sử dụng các significand hạn để đại diện cho số 24- hoặc 53 bit là 1 cộng với phân số, và phân số khi chúng tôi có nghĩa là số 23- hoặc 52 bit. Kể từ 0 đã không hàng đầu 1. nó được cho giá trị số mũ dành 0 để cho hardwawe sẽ không đính kèm một hàng đầu từ 1 tới nó. Như vậy 00 .... 0000ps đại diện cho 0. trình bày của các phần còn lại của số sử dụng hình thức từ trước khi có ẩn 1 bổ sung. (1 (X 1X2E đâu các bit của phần đại diện cho một số giữa 0 và 1 E rõ giá trị theo trường số mũ. Để được chi tiết trong thời gian ngắn. Nếu chúng ta đánh số các bit của các phần từ trái sang bên phải s1, s2, s3 ... thì giá trị là (1X 2X # x4X5 ............) Hình 3.14 cho thấy các mã số IRRR754 nổi-điểm. feates khác của IEEE 754 là những biểu tượng đặc biệt để tham gia sự kiện unsual. Ví dụ, thay vì làm gián đoạn trên một chia cho 0. softwawe có thể thiết lập các kết quả cho một mẫu bit đại diện. số mũ lớn nhất được dành riêng cho các ký hiệu đặc biệt. Khi programer in kết quả, chương trình sẽ in một biểu tượng vô cùng. << (Đối với đào tạo mathetically. Mục đích của việc vô cùng là để tạo đóng cửa topo của tập số thực) Một chút dấu hiệu riêng xác định các dấu hiệu. Số denormalized được mô tả ELABORA trên trang 270. Thông tin này cũng được tìm thấy trong cột số 4 của MIPS dữ liệu lại cad ở phía trước của cuốn sách này.