Ekeland's variational principle is

Ekeland's variational principle is a deep assertion concerning the existence of an
exact solution of a perturbed optimization problem in a neighborhood of an approximate
solution of the original optimization problem under the assumption that the
objective function of the original problem is bounded from below and lower semicontinuous
(l.s.c.). Applications of Ekeland's variational principles can be seen in
economics, control theory, game theory, nonsmooth analysis and many others. Here
we establish several generalizations of Ekeland's variational principle for vector optimization
problems with respect to variable ordering structures. For an introduction
to variable ordering structures and for some recent results in this area we refer to [2, 3, 4, 8, 13, 19, 20, 22, 24, 25, 29, 35]. We use a concept of approximate solutions
of vector optimization problems with respect to variable ordering structures which
can be considered as a generalization of "-eciency by Loridan [23].
In this paper we impose two standing assumptions.
(A1) X is a Banach space,
is a closed set in X, Y is a real topological linear
space, f : X ! Y is a vector-valued function with dom f 6= ;, and "  0.
(A2) The set-valued mapping C : Y  Y satises 0 2 bd(C(y)) and C(y) is closed
for all y 2 Y . The nonzero vector k0 2 Y n f0g satises C(y) + [0;+1)k0 
C(y) for all y 2 Y .
Under assumptions (A1) and (A2) we consider the following vector optimization
problem with respect to a variable ordering structure:
"k0

Kết quả (Việt) 1:

Nguyên tắc của Ekeland variational là một khẳng định sâu liên quan đến sự tồn tại của mộtCác giải pháp chính xác của một vấn đề tối ưu hóa perturbed trong một khu phố của một xấp xỉCác giải pháp của vấn đề tối ưu hóa ban đầu theo các giả định rằng cáchàm mục tiêu của vấn đề ban đầu được bao bọc từ bên dưới và dưới semicontinuous(l.s.c.). Ứng dụng các nguyên tắc variational của Ekeland có thể được nhìn thấy trongkinh tế học, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, nonsmooth phân tích và nhiều người khác. Ở đâychúng tôi thiết lập một vài chung chung của Ekeland variational nguyên tắc tối ưu hóa vectorvấn đề đối với biến cấu trúc sắp đặt. Cho một giới thiệuđể thay đổi thứ tự các cấu trúc và cho một số kết quả tại trong lĩnh vực này chúng tôi tham khảo [2, 3, 4, 8, 13, 19, 20, 22, 24, 25, 29, 35]. Chúng tôi sử dụng một khái niệm giải pháp gần đúngvector tối ưu hóa vấn đề đối với thay đổi thứ tự của cấu trúc đócó thể coi là một tổng quát của "-e ciency của Loridan [23].Trong bài này, chúng tôi áp đặt hai đứng giả định.(A1) X là một không gian Banach, là một đóng cửa đặt trong X, Y là một tô pô bất tuyến tínhSpace, f: X! Y là một chức năng có giá trị vectơ với dom f 6 =; và "0.(A2) Ánh xạ thiết lập giá trị C: Y Y satis es 0 2 bd(C(y)) và C(y) được đóng lạiTất cả y 2 Y. Nonzero vector k0 2 Y n f0g satis es C(y) + [0; + 1) k0C(y) cho tất cả y 2 Y.Theo giả định (A1) và (A2) chúng ta hãy xem xét việc tối ưu hóa vectơ sauvấn đề đối với một biến thứ tự cấu trúc:"k0