The derivative of f isf ◦(yt) = αyα

The derivative of f is

f ◦(yt) = αyα−1

Evaluating the derivative at the stationary point y¯ = 1 gives
f ◦(1) = α
Applying theorem 19.1, we conclude that the point y¯ = 1 is locally stable only when −1 < α < 1. For all other values, y¯ = 1 is unstable. This result explains and confirms our phase diagram analyses.
For α> 0, we found another steady-state point to be y¯ = 0. Evaluating the derivative at this point gives

f ◦(0) = 0 if α > 1 (19.3)
f ◦(0) = undefined if 0 < α < 1. (19.4)
We conclude that if α > 1, the point y¯ = 0 is locally stable. However, the phase diagram analysis in figure 19.2 proved that it is not globally stable. That is, we found that yt converges to 0 from any yt < 1 but does not converge to 0 for any yt ≥ 1.
When 0 < α < 1, equation (19.4) shows that the point y¯ is unstable because
the derivative becomes infinitely large (α divided by 0).

We found that the difference equation (19.2) led to oscillations in yt when α = −1/2 and α = −2 but that yt moved monotonically when α = 1/2 or α = 2. It turns out that the sign of the slope of the graph in the phase diagram determines
whether yt oscillates or moves in one direction. We state this important point as follows:

Kết quả (Việt) 1:

Đạo hàm của f làf ◦(yt) = αyα−1Đánh giá đạo hàm tại điểm y¯ văn phòng phẩm = 1 chof ◦(1) = αÁp dụng định lý 19.1, chúng tôi kết luận rằng điểm y¯ = 1 là ổn định cục bộ chỉ khi −1 < α < 1. Cho tất cả các giá trị khác, y¯ = 1 là không ổn định. Kết quả này giải thích và xác nhận chúng tôi phân tích biểu đồ pha.Với α > 0, chúng tôi tìm thấy một trạng thái ổn định điểm sẽ là y¯ = 0. Đánh giá đạo hàm vào thời điểm này cung cấp chof ◦(0) = 0 nếu α > 1 (19.3)f ◦(0) = undefined nếu 0 < α < 1. (19.4)Chúng tôi kết luận rằng nếu α > 1, y¯ điểm = 0 là ổn định cục bộ. Tuy nhiên, giai đoạn biểu đồ phân tích trong hình 19.2 đã chứng minh rằng nó không phải là toàn cầu ổn định. Có nghĩa là, chúng tôi thấy rằng yt hội tụ về 0 từ bất kỳ yt < 1 nhưng không hội tụ về 0 cho bất kỳ yt ≥ 1.Khi 0 < α < 1, phương trình (19.4) cho thấy rằng điểm y¯ là không ổn định vìđạo hàm trở nên vô cùng lớn (α chia cho 0).Chúng tôi thấy rằng sự khác biệt phương (19.2) đã dẫn đến các dao động ở yt khi α = −1/2 và α = −2 nhưng mà yt di chuyển monotonically khi α = 1/2 hoặc α = 2. Nó chỉ ra rằng các dấu hiệu của độ dốc của đồ thị trong biểu đồ pha xác địnhcho dù yt dao động hoặc di chuyển theo một hướng. Chúng tôi nhà nước thời điểm quan trọng này như sau:

Kết quả (Việt) 2:

Đạo hàm của f là f ◦ (yt) = αyα-1 Đánh giá phái sinh tại các điểm y tĩnh = 1 cho f ◦ (1) = α Áp dụng định lý 19.1, chúng tôi kết luận rằng các điểm y = 1 là ổn định tại địa phương chỉ khi -1 <α <1. Đối với tất cả các giá trị khác, y = 1 là không ổn định. Kết quả này giải thích và khẳng định giai đoạn sơ đồ của chúng tôi phân tích. Đối với α> 0, chúng tôi tìm thấy một điểm trạng thái ổn định được y = 0. Đánh giá phái sinh vào thời điểm này mang lại cho f ◦ (0) = 0 nếu α> 1 (19,3) f ◦ (0) = không xác định nếu 0 <α <1. (19.4) Chúng tôi kết luận rằng nếu α> 1, các điểm y = 0 là ổn định tại địa phương. Tuy nhiên, các phân tích sơ đồ giai đoạn trong hình 19.2 đã chứng minh rằng nó không phải là ổn định toàn cầu. Đó là, chúng tôi thấy rằng yt tụ đến 0 từ bất kỳ yt <1 nhưng không hội tụ về 0 cho bất kỳ yt ≥ 1. Khi 0 <α <1, phương trình (19.4) cho thấy rằng Y điểm là không ổn định vì các phái sinh trở thành vô cùng lớn (α chia 0). Chúng tôi thấy rằng các phương trình khác nhau (19.2) đã dẫn đến dao động trong yt khi α = -1/2 và α = -2 nhưng yt mà chuyển đơn điệu khi α = 1/2 hoặc α = 2 . Nó chỉ ra rằng các dấu hiệu của độ dốc của đồ thị trong sơ đồ giai đoạn xác định liệu yt dao động hoặc di chuyển theo một hướng. Chúng tôi nhà nước thời điểm quan trọng này như sau: