Show that a tree T of order n ≥ 2 i

Show that a tree T of order n ≥ 2 is bipartite.
Obviously a tree contains no odd cycles, so by Theorem 1.3 a tree is
bipartite.
Proof by induction, with the first case n = 2 obvious. For n > 2, discard
a leaf v and the incident edge vw. What remains is a tree of lower order,
which is thus bipartite. Color the leaf v the opposite color of the adjacent
vertex w.
3.2.2 Suppose a tree T has an even number of edges. Show that at least
one vertex has even degree.
A tree of order N has N − 1 edges, so if T has an even number of edges
then it has an odd number of vertices.
Recall the formula
Xdeg(v) = 2NE.
If all degrees were odd then
Xdeg(v) mod 2 = 1,
but the sum is 0.

Kết quả (Việt) 1:

Hiển thị một cây T của thứ tự n ≥ 2 là hai phía.Rõ ràng là một cây có chứa không có chu kỳ lẻ, do đó theo định lý 1.3 một cây làhai phía.Chứng minh bằng quy nạp, với đầu tiên trường hợp n = 2 rõ ràng. Cho n > 2, loại bỏv lá và sự cố cạnh vw. Những gì còn lại là một cây thứ tự thấp hơn,đó là như vậy hai phía. Màu v lá màu sắc đối diện của các lân cậnđỉnh w.3.2.2 cho rằng một cây T có một số chẵn của các cạnh. Thấy rằng ítmột đỉnh có mức độ thậm chí.Một cây lệnh N có N − 1 đa cung, do đó, nếu T có một số chẵn của các cạnhsau đó nó có một số lẻ của đỉnh.Nhớ lại công thứcXdeg(v) = 2NE.Nếu tất cả độ lẻ sau đóXdeg(v) mod 2 = 1,nhưng tổng là 0.

Kết quả (Việt) 2:

Cho thấy một cây T trật tự n ≥ 2 là song phương.
Rõ ràng là một cây có chứa không có chu kỳ kỳ lạ, do bởi định lý 1.3 là một cây
song phương.
Bằng chứng bằng cảm ứng, với các trường hợp đầu tiên n = 2 rõ ràng. Đối với n> 2, loại bỏ
một v lá và vw cạnh sự cố. Một cây của bậc thấp, những gì còn lại là
đó là do song phương. Màu lá v màu đối diện liền kề
đỉnh w.
3.2.2 Giả sử một cây T có một số thậm chí của các cạnh. Hiện có ít nhất
một đỉnh có thậm chí mức độ.
Một cây để N có N - 1 cạnh, vì vậy nếu T có một số chẵn các cạnh
. sau đó nó có một số lẻ của đỉnh
Nhớ lại công thức
Xdeg (v) = 2NE.
Nếu tất cả các độ là lẻ thì
Xdeg (v) mod 2 = 1,
nhưng tổng là 0.