Note that for the purposes of makin

Note that for the purposes of making sense of the integral, it does not matter that Chris and Bill did not realize that 2/x3 issometimes beneath x2 in the interval [1,2]. This oversight was not dependent on the conceptualization of the integral they were each working with. Both students showed evidence later in the interviews of understanding “negative area” and the overall ideas contained in their responses were still valid and made sense to the them.
For each of these students, follow-up questions such as, “What does the ‘dx’ mean?” and “What do the 1 and the 2 mean?”were asked to investigate whether each student seemed confident in terms of how they were making sense of this integral.In addition to providing statements based on mathematical meanings of the definite integral, each student continued tobe satisfied with the perspective they were drawing on, namely the function matching, perimeter and area, and adding up pieces notions respectively. Thus, it seems that students might approach decontextualized integrals through whichever of these interpretations they wish, and each provides the students with a mathematically reasonable explanation that makes sense to them. Thus, all three symbolic forms can be considered productive in this context (Fig. 1).
From this basis, it would seem that none of these conceptualizations is any more or less productive than any other, in terms of making sense of what an integral means. However, the issue is that many important problems involving integrals do not come in the form of interpreting decontextualized integral expressions that are simply given to students. This leads the discussion to the next context, in which the students looked at integrals from physics and engineering.

Kết quả (Việt) 1:

Lưu ý rằng đối với mục đích làm cho ý nghĩa của việc tách rời, nó không quan trọng mà Chris và Bill đã không nhận ra rằng issometimes 2/x 3 bên dưới x 2 trong khoảng thời gian [1,2]. Giám sát này đã không phụ thuộc vào conceptualization của tích phân họ đã từng làm việc với. Cả hai học sinh cho thấy bằng chứng sau này tại các cuộc phỏng vấn của sự hiểu biết "tiêu cực tích" và những ý tưởng tổng thể chứa trong phản ứng của họ đã được vẫn còn hợp lệ và tạo sự với chúng.Đối với mỗi của những sinh viên, theo dõi câu hỏi như, "'dx' nghĩa là gì?" và "1 và 2 có nghĩa là làm gì?" được yêu cầu điều tra cho dù mỗi học sinh có vẻ tự tin về làm thế nào họ đã làm cho cảm giác này không thể tách rời. Ngoài việc cung cấp báo cáo dựa trên toán học ý nghĩa của tích phân xác định, mỗi học sinh tiếp tục tobe hài lòng với quan điểm họ đã được vẽ trên, cụ thể là các chức năng phù hợp với, chu vi và khu vực, và thêm lên miếng khái niệm tương ứng. Vì vậy, có vẻ như rằng sinh viên có thể tiếp cận các tích phân decontextualized thông qua bất cứ những giải thích họ muốn, và mỗi cung cấp cho các sinh viên với một lời giải thích hợp lý về mặt toán học có ý nghĩa đối với họ. Vì vậy, tất cả ba hình thức biểu tượng có thể được coi là sản xuất trong bối cảnh này (hình 1).Từ cơ sở này, nó sẽ có vẻ rằng không ai trong số những conceptualizations là bất kỳ nhiều hơn hoặc ít hiệu quả hơn bất kỳ khác, trong điều khoản của làm cho tinh thần của những gì có nghĩa là một tích phân. Tuy nhiên, vấn đề là nhiều vấn đề quan trọng liên quan đến tích phân không đến trong các hình thức giải thích decontextualized biểu hiện không thể thiếu được đưa ra chỉ đơn giản là cho sinh viên. Điều này dẫn các cuộc thảo luận với bối cảnh tiếp theo, trong đó các sinh viên nhìn tại tích phân từ vật lý và kỹ thuật.

Kết quả (Việt) 2:

Lưu ý rằng đối với các mục đích tạo cảm giác của tích phân, nó không quan trọng mà Chris và Bill đã không nhận ra rằng 2 / x3 issometimes dưới x2 trong khoảng [1,2]. Giám sát này không phụ thuộc vào quá trình nhận thức của tích phân họ từng được làm việc với. Cả hai sinh viên đã cho thấy bằng chứng sau này trong cuộc phỏng vấn của sự hiểu biết "vùng tiêu cực" và những ý tưởng tổng thể chứa trong phản ứng của họ vẫn còn có giá trị và có ý nghĩa với các họ.
Đối với mỗi sinh viên, những câu hỏi như, "Những gì hiện theo dõi các ' dx 'nghĩa là gì? "và" Điều gì làm 1 và 2 nghĩa là gì? "đã được yêu cầu điều tra xem liệu mỗi học sinh có vẻ tự tin về cách họ đã làm cho ý nghĩa của việc bổ sung integral.In này để cung cấp báo cáo dựa trên ý nghĩa toán học của định tách rời, mỗi học sinh tiếp tục tobe hài lòng với quan điểm chúng được vẽ trên, cụ thể là sự kết hợp chức năng, chu vi và diện tích, và thêm lên miếng khái niệm tương ứng. Như vậy, có vẻ như các học sinh có thể tiếp cận tích phân decontextualized qua nào của những giải thích họ muốn, và mỗi loại cung cấp cho sinh viên với một lời giải thích hợp lý về mặt toán học có ý nghĩa với họ. Như vậy, cả ba hình thức biểu tượng có thể được coi là hiệu quả trong bối cảnh này (Hình. 1).
Từ cơ sở này, có vẻ như không có những khái niệm hóa là bất kỳ nhiều hơn hoặc kém hiệu quả hơn bất kỳ khác, về làm cho ý nghĩa của những gì một tích phương tiện. Tuy nhiên, vấn đề là nhiều vấn đề quan trọng liên quan đến tích phân không đến trong các hình thức giải thích biểu decontextualized tách rời mà chỉ đơn giản là cho học sinh. Điều này dẫn các cuộc thảo luận với bối cảnh tiếp theo, trong đó các sinh viên nhìn tích từ vật lý và kỹ thuật.