Rewriting statements to encompass l

Rewriting statements to encompass larger universes

It is sometimes useful to rewrite a quantified statement so that the universe is larger, and the statement itself serves to limit the scope of the universe.

Exercise 3.2-7 Let R to stand for the real numbers and R+ to stand for the positive real numbers. Consider the following two statements:
a) ∀x ∈ R+(x > 1) b) ∃x ∈ R+(x > 1)
Rewrite these statements so that the universe is all the real numbers, but the state- ments say the same thing in everyday English that they did before.


For Exercise 3.2-7, there are potentially many ways to rewrite the statements. Two partic- ularly simple ways are ∀x ∈ R(x > 0 ⇒ x > 1) and ∃x ∈ R(x > 0 ∧ x > 1). Notice that we
translated one of these statements with “implies” and one with “and.” We can state this rule as a general theorem:

Theorem 3.2 Let U1 be a universe, and let U2 be another universe with U1 ⊆ U2. Suppose that
q(x) is a statement such that
U1 = {x| q(x) is true}. (3.2)
Then if p(x) is a statement about U2, it may also be interpreted as a statement about U1, and

(a) ∀x ∈ U1(p(x)) is equivalent to ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)).
(b) ∃x ∈ U1(p(x)) is equivalent to ∃x ∈ U2(q(x) ∧ p(x)).

Proof: By Equation 3.2 the statement q(x) must be true for all x ∈ U1 and false for all x in U2 but not U1. To prove part (a) we must show that ∀x ∈ U1(p(x)) is true in exactly the same cases as the statement ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)). For this purpose, suppose first that ∀x ∈ U1(p(x)) is
true. Then p(x) is true for all x in U1. Therefore, by the truth table for “implies” and our remark about Equation 3.2, the statement ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)) is true. Now suppose ∀x ∈ U1(p(x)) is
false. Then there exists an x in U1 such that p(x) is false. Then by the truth table for “implies,” the statement ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)) is false. Thus the statement ∀x ∈ U1(p(x)) is true if and only if the statement ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)) is true. Therefore the two statements are true in
exactly the same cases. Part (a) of the theorem follows.
Similarly, for Part (b), we observe that if ∃x ∈ U1(p(x)) is true, then for some xt ∈ U1, p(xt) is true. For that xt, q(xt) is also true, and hence p(xt) ∧ q(xt) is true, so that ∃x ∈ U2(q(x) ∧ p(x)) is true as well. On the other hand, if ∃x ∈ U1(p(x)) is false, then no x ∈ U1 has p(x) true. Therefore by the truth table for “and” q(x) ∧ p(x) won’t be true either. Thus the two statements
in Part (b) are true in exactly the same cases and so are equivalent.

Kết quả (Việt) 1:

Viết lại câu để bao gồm vũ trụ lớn hơnNó đôi khi rất hữu ích để viết lại một tuyên bố quantified do đó vũ trụ là lớn hơn, và tuyên bố chính nó phục vụ để giới hạn phạm vi của vũ trụ.Tập thể dục 3.2-7 cho R để đứng với số thực và R + đứng cho các số thực dương. Hãy xem xét hai câu sau đây:a) ∀x ∈ R + (x > 1) b) ∃x ∈ R + (x > 1)Viết lại các báo cáo này do đó vũ trụ là tất cả các số thực, nhưng nhà nước-ments nói điều tương tự trong tiếng Anh hàng ngày mà họ đã làm trước khi.Cho tập thể dục 3.2-7, có rất có khả năng nhiều cách để ghi lại những điều khoản. Hai partic ularly cách đơn giản là ∀x ∈ R (x > 0 ⇒ x > 1) và ∃x ∈ R (x > 0 ∧ x > 1). Nhận thấy rằng chúng tôidịch một trong các báo cáo với "ngụ ý" và một "và." Chúng tôi có thể nhà nước quy tắc này như là một định lý tổng quát:Định lý 3.2 U1 cho là một vũ trụ, và để cho U2 là một vũ trụ với U1 ⊆ U2. Giả sử rằngq(x) là một tuyên bố như vậy màU1 = {x| q(x) là đúng}. (3.2)Sau đó nếu p(x) là một tuyên bố về U2, nó cũng có thể được diễn giải như một tuyên bố về U1, và(a) ∀x ∈ U1(p(x)) là tương đương với ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)).(b) ∃x ∈ U1(p(x)) là tương đương với ∃x ∈ U2(q(x) ∧ p(x)).Bằng chứng: Bởi phương trình 3.2 tuyên bố q(x) phải là đúng cho tất cả các x ∈ U1 và sai với mọi x thuộc U2 nhưng không U1. Để chứng minh một phần (a) chúng ta phải thể hiện rằng ∈ ∀x U1(p(x)) là đúng trong chính xác các trường hợp tương tự như tuyên bố ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)). Cho mục đích này, giả sử chính ∀x đó ∈ U1(p(x)) làsự thật. Sau đó p(x) là đúng với mọi x thuộc U1. Vì vậy, bởi bảng chân trị cho "ngụ ý" và chúng tôi nhận xét về phương trình 3.2, tuyên bố ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)) là sự thật. Bây giờ giả sử ∀x ∈ U1(p(x)) làsai. Sau đó có tồn tại một x ở U1 như vậy mà p(x) là sai. Sau đó bởi bảng chân trị cho "ngụ ý", tuyên bố ∀x ∈ U2(q(x) ⇒ p(x)) là sai. Do đó tuyên bố ∀x ∈ U1(p(x)) là đúng nếu và chỉ nếu p(x)) ⇒ tuyên bố ∀x ∈ U2(q(x) là đúng sự thật. Do đó hai báo cáo là có thật trongchính xác các trường hợp tương tự. (A) một phần của định lý sau.Tương tự như vậy, đối với một phần (b), chúng tôi quan sát mà nếu ∃x ∈ U1(p(x)) là đúng, sau đó cho một số ∈ xt U1, p(xt) là đúng sự thật. Cho rằng xt, q(xt) cũng là sự thật, và do đó p(xt) ∧ q(xt) là đúng, do đó ∃x ∈ U2(q(x) ∧ p(x)) là đúng là tốt. Mặt khác, nếu ∃x ∈ U1(p(x)) là sai, sau đó không có x ∈ U1 có p(x) đúng. Do đó bởi cho bảng chân trị "và" q(x) ∧ p(x) sẽ không thể đúng một trong hai. Do đó hai báo cáotrong phần (b) là có thật trong chính xác các trường hợp tương tự và do đó là tương đương.

Kết quả (Việt) 2:

Viết lại câu để bao gồm các vũ trụ lớn hơn là đôi khi hữu ích để viết lại một tuyên bố quanti fi ed để vũ trụ là lớn hơn, và tuyên bố bản thân phục vụ để giới hạn phạm vi của vũ trụ. Tập thể dục 3,2-7 Hãy R để đứng cho các số thực và R + để đứng cho các số thực dương. Hãy xem xét hai câu sau đây: a) ∀x ∈ R + (x> 1) b) ∃x ∈ R + (x> 1) Viết lại các báo cáo như vậy mà vũ trụ là tất cả các số thực, nhưng trên các báo cáo nói cùng một điều trong tiếng Anh hàng ngày mà họ đã làm trước đây. Đối với Tập thể dục 3,2-7, có khả năng nhiều cách để viết lại các báo cáo. Hai cách đơn giản ularly partic- là ∀x ∈ R (x> 0 ⇒ x> 1) và ∃x ∈ R (x> 0 ∧ x> 1). Chú ý rằng chúng tôi dịch một trong các báo cáo với "hàm ý" và một với Chúng ta có thể nêu quy tắc này như một định lý tổng quát "và".: Định lý 3.2 Hãy U1 là một vũ trụ, và để cho U2 là một vũ trụ với U1 ⊆ U2. Giả sử q (x) là một tuyên bố như vậy mà U1 = {x | q (x) là đúng}. (3.2) Sau đó, nếu p (x) là một tuyên bố về U2, nó cũng có thể được hiểu như là một tuyên bố về U1, và (a) ∀x ∈ U1 (p (x)) là tương đương với ∀x ∈ U2 (q ( x) ⇒ p (x)). (b) ∃x ∈ U1 (p (x)) là tương đương với ∃x ∈ U2 (q (x) ∧ p (x)). Chứng minh: By Equation 3.2 tuyên bố q ( x) phải đúng với mọi x ∈ U1 và sai với mọi x trong U2 nhưng không U1. Để chứng minh phần (a) chúng ta phải thấy rằng ∀x ∈ U1 (p (x)) là đúng chính xác trong các trường hợp tương tự như ∀x ∈ tuyên bố U2 (q (x) ⇒ p (x)). Với mục đích này, giả sử fi đầu tiên mà ∀x ∈ U1 (p (x)) là đúng. Sau đó p (x) là đúng với mọi x trong U1. Vì vậy, bằng bảng chân lý cho "ngụ ý" và nhận xét ​​của chúng tôi về Equation 3.2, ∀x ∈ tuyên bố U2 (q (x) ⇒ p (x)) là đúng. Bây giờ giả sử ∀x ∈ U1 (p (x)) là sai. Sau đó, có tồn tại một x trong U1 như vậy mà p (x) là sai. Sau đó, bằng bảng chân lý cho "ngụ ý", các ∀x ∈ tuyên bố U2 (q (x) ⇒ p (x)) là sai. Do đó, ∀x ∈ tuyên bố U1 (p (x)) là đúng nếu và chỉ nếu ∀x ∈ tuyên bố U2 (q (x) ⇒ p (x)) là đúng. Do đó hai câu đều đúng trong chính xác các trường hợp tương tự. Phần (a) của định lý sau. Tương tự như vậy, đối với một phần (b), chúng tôi nhận thấy rằng nếu ∃x ∈ U1 (p (x)) là đúng, sau đó cho một số xt ∈ U1, p (xt) là đúng. Đối với xt rằng, q (xt) cũng là sự thật, và do đó p (xt) ∧ q (xt) là đúng, do đó ∃x ∈ U2 (q (x) ∧ p (x)) đúng là tốt. Mặt khác, nếu ∃x ∈ U1 (p (x)) là sai, sau đó không có x ∈ U1 có p (x) đúng. Vì vậy bởi bảng sự thật cho "và" q (x) ∧ p (x) sẽ không thể đúng hoặc. Như vậy hai câu trong phần (b) là đúng sự thật chính xác trong các trường hợp tương tự và như vậy là tương đương.