Proposition 1.7. If P is aperiodic

Proposition 1.7. If P is aperiodic and irreducible, then there is an integer r
such that P
r
(x, y) > 0 for all x, y ∈ Ω.
Proof. We use the following number-theoretic fact: any set of non-negative
integers which is closed under addition and which has greatest common divisor 1
must contain all but finitely many of the non-negative integers. (See Lemma 1.27
in the Notes of this chapter for a proof.) For x ∈ Ω, recall that T (x) = {t ≥ 1 :
P
t
(x, x) > 0}. Since the chain is aperiodic, the gcd of T (x) is 1. The set T (x)
is closed under addition: if s, t ∈ T (x), then P
s+t
(x, x) ≥ P
s
(x, x)P
t
(x, x) > 0,
and hence s + t ∈ T (x). Therefore there exists a t(x) such that t ≥ t(x) implies
t ∈ T (x). By irreducibility we know that for any y ∈ Ω there exists r = r(x, y)
such that P
r
(x, y) > 0. Therefore, for t ≥ t(x) + r,

Kết quả (Việt) 2:

Dự luật 1.7. Nếu P là không tuần hoàn và không thể rút gọn, sau đó có một số nguyên r
như vậy mà P
r
(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ Ω.
Proof. Chúng tôi sử dụng số học thực tế sau đây: bất kỳ bộ không âm
số nguyên được đóng theo cộng và có ước chung lớn nhất 1
phải chứa tất cả nhưng hữu hạn nhiều trong các số nguyên không âm. (Xem Bổ đề 1.27
. Ghi chú trong chương này cho một bằng chứng) Đối với x ∈ Ω, nhớ lại rằng T (x) = {t ≥ 1:
P
t
(x, x)> 0}. Kể từ khi chuỗi là không tuần hoàn, gcd của T (x) là 1. Các bộ T (x)
được đóng theo Ngoài ra: nếu s, t ∈ T (x), sau đó P
s + t
(x, x) ≥ P
s
(x, x) P
t
(x, x)> 0,
và do đó s + t ∈ T (x). Do đó có tồn tại (x) sao cho t ≥ t (x) hàm ý
t ∈ T (x). By irreducibility chúng ta biết rằng đối với bất kỳ y ∈ Ω có tồn tại r = r (x, y)
sao cho P
r
(x, y)> 0. Vì thế, cho t ≥ t (x) + r,