It is easy to see that Q'(x*) = —1,

It is easy to see that Q'(x*) = —1, if (b — 1)2 = 4ac+4 and Q'(x2) = — 1. Thus x* is asymptotically stable if (b — 1)2 = 4ac + 4 (Exercises 1.5, Problem 8).
If Q'(x*) = 1, then by Theorem 1.15, x* is unstable. In this case, we have only one equilibrium point x* = (1 — b)/2a. Thus, x* is unstable if (b — 1)2 = 4ac.
Remark:
Theorem 1.15 fails if for a fixed point x*, f(x*) = 1, /"(x*) = /'''(x*) = 0. For example, for the map /(x) = x + (x — 1)4 and its fixed
point x* = 1, /'(x*) = 1, /"(x*) = f"(x*) = 0, and /(4)(x*) = 24 > 0.

Kết quả (Việt) 1:

Nó rất dễ dàng để xem Q'(x*) đó =-1, nếu (b-1) 2 = 4ac + 4 và Q'(x2) =-1. Vì vậy x * là ổn định tiệm cận nếu (b-1) 2 = 4ac + 4 (tập 1.5, vấn đề 8). Nếu Q'(x*) = 1, thì theo định lý 1.15, x * là không ổn định. Trong trường hợp này, chúng tôi đã chỉ có một cân bằng điểm x * = (1-b) / 2a. Vì thế, x * là không ổn định nếu (b-1) 2 = 4 ac.Nhận xét: Định lý 1.15 thất bại nếu cho một cố định điểm x *, f(x*) = 1, /"(x*) = /'''(x*) = 0. Ví dụ, đối với bản đồ /(x) = x + (x-1) 4 và nó cố địnhđiểm x * = 1, /'(x*) = 1, /"(x*) = f"(x*) = 0, và /(4)(x*) = 24 > 0.

Kết quả (Việt) 2:

Nó rất dễ dàng để thấy rằng Q '(x *) = -1, nếu (b - 1) 2 = 4ac + 4 và Q' (x2) = - 1. Như vậy x * là tiệm ổn định nếu (b - 1) 2 = 4ac + 4 (Các bài tập 1.5, Problem 8).
Nếu Q '(x *) = 1, sau đó bởi Định lý 1.15, x * là không ổn định. Trong trường hợp này, chúng tôi chỉ có một điểm cân bằng x * = (1 - b) / 2a. Như vậy, x * là không ổn định nếu (b - 1) 2 = 4ac.
Ghi chú:
Định lý 1.15 không nếu cho một điểm cố định x *, f (x *) = 1, / "(x *) = / '' '(x *) = 0. Ví dụ, đối với bản đồ / (x) = x + (x - 1) 4 và cố định của
điểm x * = 1, / '(x *) = 1, / "(x *) = f "(x *) = 0, và / (4) (x *) = 24> 0.