- Văn bản
- Lịch sử
The arithmetic used by computers di
The arithmetic used by computers differs in some ways from the arithmetic used by people. The most important difference is that computers perform opera-tions on numbers whose precision is finite and fixed. Another difference is that most computers use the binary rather than the decimal system for representing numbers. These topics are the subject of this appendix.
A.1 FINITE-PRECISION NUMBERS
While doing arithmetic, one usually gives little thought to the question of how many decimal digits it takes to represent a number. Physicists can calculate that there are 10¬78 electrons in the universe without being bothered by the fact that it requires 79 decimal digits to write that number out in full. Someone calculating the value of a function with pencil and paper who needs the answer to six significant digits simply keeps intermediate results to seven, or eight, or however many are needed. The problem of the paper not being wide enough for seven-digit numbers never arises.
With computers, matters are quite different. On most computers, the amount of memory available for storing a number is fixed at the time that the computer is designed. With a certain amount of effort, the programmer can represent numbers two, or three, or even many times larger than this fixed amount, but doing so does not change the nature of this difficulty. The finite nature of the computer forces us to deal only with numbers that can be represented in a fixed number of digits. We call such numbers finite-precision numbers.
In order to study properties of finite-precision numbers, let us examine the set of positive integers representable by three decimal digits, with no decimal point and no sign. This set has exactly 1000 members: 000, 001, 002, 003, …, 999. With this restriction, it is impossible to express certain kinds of numbers, such as
1. Numbers larger than 999.
2. Negative numbers.
3. Fractions.
4. Irrational numbers.
5. Complex numbers.
One important property of arithmetic on the set of all integers is closure with respect to the operations of addition, subtraction, and multiplication. In other words, for every pair of integers i and j, I + j, i − j, and i × j are also integers. The set of integers is not closed with respect to division, because there exist values of i and j for which i/j is not expressible as an integer (e.g., 7/2 and 1/0).
Finite-precision numbers are not closed with respect to any of these four basic operations, as shown below, using three-digit decimal numbers as an example:
600 +600 =1200 (too large)
003 − 005 = −2(negative)
050 × 050 =2500 (too large)
007 /002 =3.5 (not an integer)
The violations can be divided into two mutually exclusive classes: operations whose result is larger than the largest number in the set (overflow error) or smaller than the smallest number in the set (underflow error), and operations whose result is neither too large nor too small but is simply not a member of the set. Of the four violations above, the first three are examples of the former, and the fourth is an example of the latter.
Because computers have finite memories and therefore must of necessity perform arithmetic on finite-precision numbers, the results of certain calculations will be, from the point of view of classical mathematics, just plain wrong. A calculating device that gives the wrong answer even though it is in perfect working condition may appear strange at first, but the error is a logical consequence of its finite nature. Some computers have special hardware that detects overflow errors. The algebra of finite-precision numbers is different from normal algebra. As an example, consider the associative law:
a + (b − c) = (a + b ) − c
Let us evaluate both sides for a = 700, b = 400, c = 300. To compute the left-hand side, first calculate (b − c), which is 100, and then add this amount to a, yielding 800. To compute the right-hand side, first calculate (a + b), which gives an overflow in the finite arithmetic of three-digit integers. The result may depend on the machine being used but it will not be 1100. Subtracting 300 from some number other than 1100 will not yield 800. The associative law does not hold. The order of operations is important.
As another example, consider the distributive law:
a × (b − c ) = a × b − a × c
Let us evaluate both sides for a = 5, b = 210, c = 195. The left-hand side is 5 × 15, which yields 75. The right-hand side is not 75 because a×b overflows.
Judging from these examples, one might conclude that although computers are general-purpose devices, their finite nature renders them especially unsuitable for doing arithmetic. This conclusion is, of course, not true, but it does serve to illustrate the importance of understanding how computers work and what limitations they have.
A.1 FINITE-PRECISION NUMBERS
While doing arithmetic, one usually gives little thought to the question of how many decimal digits it takes to represent a number. Physicists can calculate that there are 10¬78 electrons in the universe without being bothered by the fact that it requires 79 decimal digits to write that number out in full. Someone calculating the value of a function with pencil and paper who needs the answer to six significant digits simply keeps intermediate results to seven, or eight, or however many are needed. The problem of the paper not being wide enough for seven-digit numbers never arises.
With computers, matters are quite different. On most computers, the amount of memory available for storing a number is fixed at the time that the computer is designed. With a certain amount of effort, the programmer can represent numbers two, or three, or even many times larger than this fixed amount, but doing so does not change the nature of this difficulty. The finite nature of the computer forces us to deal only with numbers that can be represented in a fixed number of digits. We call such numbers finite-precision numbers.
In order to study properties of finite-precision numbers, let us examine the set of positive integers representable by three decimal digits, with no decimal point and no sign. This set has exactly 1000 members: 000, 001, 002, 003, …, 999. With this restriction, it is impossible to express certain kinds of numbers, such as
1. Numbers larger than 999.
2. Negative numbers.
3. Fractions.
4. Irrational numbers.
5. Complex numbers.
One important property of arithmetic on the set of all integers is closure with respect to the operations of addition, subtraction, and multiplication. In other words, for every pair of integers i and j, I + j, i − j, and i × j are also integers. The set of integers is not closed with respect to division, because there exist values of i and j for which i/j is not expressible as an integer (e.g., 7/2 and 1/0).
Finite-precision numbers are not closed with respect to any of these four basic operations, as shown below, using three-digit decimal numbers as an example:
600 +600 =1200 (too large)
003 − 005 = −2(negative)
050 × 050 =2500 (too large)
007 /002 =3.5 (not an integer)
The violations can be divided into two mutually exclusive classes: operations whose result is larger than the largest number in the set (overflow error) or smaller than the smallest number in the set (underflow error), and operations whose result is neither too large nor too small but is simply not a member of the set. Of the four violations above, the first three are examples of the former, and the fourth is an example of the latter.
Because computers have finite memories and therefore must of necessity perform arithmetic on finite-precision numbers, the results of certain calculations will be, from the point of view of classical mathematics, just plain wrong. A calculating device that gives the wrong answer even though it is in perfect working condition may appear strange at first, but the error is a logical consequence of its finite nature. Some computers have special hardware that detects overflow errors. The algebra of finite-precision numbers is different from normal algebra. As an example, consider the associative law:
a + (b − c) = (a + b ) − c
Let us evaluate both sides for a = 700, b = 400, c = 300. To compute the left-hand side, first calculate (b − c), which is 100, and then add this amount to a, yielding 800. To compute the right-hand side, first calculate (a + b), which gives an overflow in the finite arithmetic of three-digit integers. The result may depend on the machine being used but it will not be 1100. Subtracting 300 from some number other than 1100 will not yield 800. The associative law does not hold. The order of operations is important.
As another example, consider the distributive law:
a × (b − c ) = a × b − a × c
Let us evaluate both sides for a = 5, b = 210, c = 195. The left-hand side is 5 × 15, which yields 75. The right-hand side is not 75 because a×b overflows.
Judging from these examples, one might conclude that although computers are general-purpose devices, their finite nature renders them especially unsuitable for doing arithmetic. This conclusion is, of course, not true, but it does serve to illustrate the importance of understanding how computers work and what limitations they have.
0/5000
Số học được sử dụng bởi các máy tính khác với trong một số cách từ số học được sử dụng bởi người dân. Sự khác biệt quan trọng nhất là máy tính thực hiện opera-tions trên con số mà chính xác là hữu hạn và cố định. Sự khác biệt khác là hầu hết các máy tính sử dụng nhị phân chứ không phải là hệ thập phân cho đại diện cho số. Các chủ đề này là đối tượng của phụ lục này.A.1 HỮU HẠN CHÍNH XÁC SỐTrong khi làm số học, một thường cung cấp cho ít nghĩ rằng cho câu hỏi của chữ số bao nhiêu nó cần để đại diện cho một số. Nhà vật lý có thể tính toán rằng có những 10¬78 điện tử trong vũ trụ mà không bị làm phiền bởi thực tế rằng nó đòi hỏi 79 chữ số thập phân để viết con số đó ra đầy đủ. Một tính toán giá trị của một chức năng với bút chì và giấy người cần câu trả lời cho sáu chữ số quan trọng chỉ đơn giản là giữ kết quả trung gian đến bảy hoặc tám, hoặc Tuy nhiên nhiều là cần thiết. Vấn đề giấy không phải là đủ rộng cho các bảy chữ số không bao giờ phát sinh.Với máy tính, vấn đề là khá khác nhau. Trên hầu hết các máy tính, số lượng bộ nhớ sẵn dùng để lưu trữ một số cố định tại thời gian máy tính được thiết kế. Với một số tiền nhất định của nỗ lực, các lập trình viên có thể đại diện cho số hai hoặc ba, hoặc thậm chí nhiều lần lớn hơn số tiền cố định này, nhưng làm như vậy không thay đổi bản chất của khó khăn này. Bản chất hữu hạn của máy tính lực lượng chúng tôi để đối phó với các con số có thể được biểu diễn trong một số lượng chữ số cố định. Chúng tôi gọi các số hữu hạn chính xác số. Để nghiên cứu các thuộc tính của con số chính xác hữu hạn, cho chúng tôi kiểm tra các thiết lập của số nguyên dương USD bằng ba chữ số thập phân, với không có điểm thập phân và không có dấu hiệu. Thiết lập này có chính xác 1000 thành viên: 000 001, 002, 003,..., 999. Với hạn chế này, nó là không thể để thể hiện một số loại số, chẳng hạn như1. con số lớn hơn 999.2. số âm.3. phân số.4. số vô tỉ.5. số phức.Một quan trọng tài sản của số học trên các thiết lập của tất cả các số nguyên là đóng cửa đối với các hoạt động bổ sung, trừ, và nhân. Nói cách khác, cho mỗi cặp số nguyên i và j, tôi + j, tôi − j, và tôi x j cũng là số nguyên. Tập hợp các số nguyên không đóng cửa đối với sư đoàn, bởi vì có tồn tại các giá trị của i và j cho mà tôi / j không phải là expressible như là một số nguyên (ví dụ như, 7/2 và 1/0).Con số chính xác hữu hạn không được đóng cửa đối với bất kỳ những hoạt động cơ bản bốn, như được hiển thị bên dưới, sử dụng ba chữ số thập phân là một ví dụ:600 + 600 = 1200 (quá lớn)003 − 005 = −2(negative)050 × 050 = 2500 (quá lớn)007 /002 = 3.5 (không phải là một số nguyên) Các hành vi vi phạm có thể được chia thành hai loại trừ lẫn nhau lớp: hoạt động mà kết quả là lớn hơn con số lớn nhất trong các thiết lập (tràn lỗi) hoặc nhỏ hơn so với số nhỏ nhất trong các thiết lập (underflow lỗi), và hoạt động mà kết quả là không quá lớn, cũng không quá nhỏ nhưng chỉ đơn giản là không phải là một thành viên của bộ. Bốn vi phạm trên, người đầu tiên ba là ví dụ về các cựu, và thứ tư là một ví dụ về sau này.Bởi vì các máy tính có những kỷ niệm hữu hạn và do đó phải cần thiết thực hiện số học trên con số chính xác hữu hạn, kết quả tính toán nhất định sẽ là, từ điểm nhìn của toán học cổ điển, chỉ là đồng bằng sai. Một thiết bị tính toán cho sai trả lời ngay cả khi nó là trong điều kiện làm việc hoàn hảo có thể xuất hiện lạ lúc đầu tiên, nhưng lỗi là một kết quả hợp lý của bản chất hữu hạn của nó. Một số máy tính có phần cứng đặc biệt phát hiện lỗi tràn. Đại số số chính xác hữu hạn là khác nhau từ đại số bình thường. Ví dụ, hãy xem xét kết hợp pháp luật:một + (b − c) = (một + b) − cHãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho một = 700, b = 400, c = 300. Để tính toán phía bên tay trái, lần đầu tiên tính toán (b − c), mà là 100, và sau đó thêm số tiền này đến một, 800 thu. Để tính toán bên phải, lần đầu tiên tính toán (một + b), mà cung cấp cho một tràn trong số học hữu hạn của ba chữ số nguyên. Kết quả có thể phụ thuộc vào máy tính được sử dụng nhưng nó sẽ không là 1100. Trừ 300 từ số khác hơn 1100 sẽ không mang lại 800. Luật kết hợp không nắm giữ. Bộ hoạt động kinh doanh là quan trọng.Một ví dụ khác, hãy xem xét pháp luật phân phối:một × (b − c) = một × b − × c Hãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho một = 5, b = 210, c = 195. Bên trái là 5 × 15, sản lượng 75. Bên không phải là 75 vì một × b tràn.Đánh giá từ những ví dụ này, người ta có thể kết luận rằng mặc dù máy tính chung mục đích thiết bị, của thiên nhiên hữu hạn làm cho chúng đặc biệt là không thích hợp cho làm số học. Kết luận này là, tất nhiên, không đúng sự thật, nhưng nó nhằm mục đích minh họa tầm quan trọng của sự hiểu biết làm thế nào máy tính làm việc và hạn chế những gì họ có.
đang được dịch, vui lòng đợi..
Số học được sử dụng bởi các máy tính khác trong một số cách từ các phép tính số học được sử dụng bởi người dân. Sự khác biệt quan trọng nhất là máy tính thực hiện opera-tions vào số mà chính xác là hữu hạn và cố định. Một khác biệt nữa là hầu hết các máy tính sử dụng hệ nhị phân hơn là hệ thập phân đại diện cho số. Các chủ đề này là chủ đề của phụ lục này.
A.1 SỐ hữu hạn PRECISION
Trong khi làm số học, người ta thường cho ít suy nghĩ về những câu hỏi có bao nhiêu chữ số thập phân cần thiết để đại diện cho một số. Các nhà vật lý có thể tính toán rằng có 10¬78 điện tử trong vũ trụ mà không bị làm phiền bởi thực tế là nó đòi hỏi 79 chữ số thập phân để viết số đó ra ngoài đầy đủ. Một người nào đó tính giá trị của một hàm với bút chì và giấy ai cần câu trả lời đến sáu chữ số có nghĩa đơn giản là giữ các kết quả trung gian đến bảy hoặc tám, hoặc tuy nhiên nhiều người đang cần. Các vấn đề của bài báo không có bề rộng đủ cho số bảy chữ số không bao giờ xuất hiện.
Với các máy tính, các vấn đề hoàn toàn khác nhau. Trên hầu hết các máy tính, dung lượng bộ nhớ có sẵn để lưu trữ một số lượng cố định tại thời điểm đó các máy tính được thiết kế. Với một số tiền nhất định nỗ lực, các lập trình viên có thể đại diện cho số có hai, hoặc ba, hoặc lớn hơn số tiền cố định này thậm chí nhiều lần, nhưng làm như vậy không thay đổi bản chất của những khó khăn này. Các chất hữu hạn của máy tính bắt buộc chúng ta phải đối phó với các chỉ số có thể được đại diện trong một số cố định của các chữ số. Chúng tôi kêu gọi các số như số hữu hạn chính xác.
Để nghiên cứu tính chất của số hữu hạn độ chính xác, chúng ta hãy xem xét tập các số nguyên dương biểu diễn bằng ba chữ số thập phân, không có dấu thập phân và không có dấu hiệu. Bộ này có chính xác 1000 thành viên: 000, 001, 002, 003, ..., 999. Với sự hạn chế này, nó là không thể bày tỏ một số loại số, chẳng hạn như
1. Số lớn hơn 999.
2. Số âm.
3. Phân số.
4. Số vô tỉ.
5. Số phức.
Một đặc tính quan trọng của số học trên các thiết lập của tất cả các số nguyên là đóng cửa đối với các hoạt động của cộng, trừ, và nhân với. Nói cách khác, đối với tất cả các cặp số nguyên i và j, I + j, i - j, và i × j cũng là số nguyên. Tập hợp các số nguyên không được đóng đối với bộ phận với, bởi vì có tồn tại các giá trị của i và j mà i / j là không thể diễn tả như là một số nguyên (ví dụ, 7/2 và 1/0).
số hữu hạn có độ chính xác không đóng lại : Đối với một trong bốn hoạt động cơ bản, như hình dưới đây, sử dụng số thập phân ba chữ số là một ví dụ với
600 600 = 1200 (quá lớn)
005 = -2 (âm) - 003
050 × 050 = 2500 (quá lớn )
007/002 = 3,5 (không phải là một số nguyên)
Các hành vi vi phạm có thể được chia thành hai loại trừ lẫn nhau: hoạt động có kết quả là lớn hơn so với con số lớn nhất trong tập hợp (lỗi tràn bộ nhớ) hoặc nhỏ hơn số nhỏ nhất trong tập (underflow lỗi ), và các hoạt động có kết quả là không quá lớn cũng không quá nhỏ, nhưng chỉ đơn giản là không phải là một thành viên của bộ này. Trong bốn hành vi vi phạm nêu trên, ba đầu tiên là những ví dụ của các cựu, và thứ tư là một ví dụ về sau.
Vì các máy tính có những kỷ niệm hữu hạn và do đó phải thực hiện các phép tính số học cần thiết về số hữu hạn chính xác, kết quả tính toán nhất định sẽ có , từ quan điểm của toán học cổ điển, chỉ là đồng bằng sai. Một thiết bị tính toán cung cấp cho câu trả lời sai mặc dù nó đang ở trong tình trạng hoạt động hoàn hảo có thể xuất hiện kỳ lạ lúc đầu, nhưng lỗi là một hệ quả logic của chất hữu hạn của nó. Một số máy tính có phần cứng đặc biệt có thể phát hiện lỗi tràn bộ nhớ. Các đại số của số hữu hạn chính xác là khác nhau từ các đại số bình thường. Như một ví dụ, hãy xem xét các luật kết hợp:
a + (b - c) = (a + b) - c
Hãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho a = 700, b = 400, c = 300. Để tính toán phía bên tay trái, tính toán đầu tiên (b - c), mà là 100, và sau đó thêm số tiền này cho một, năng suất 800. Để tính toán phía bên tay phải, tính toán đầu tiên (a + b), trong đó cung cấp cho một tràn trong số học hữu hạn của ba số nguyên chữ số. Kết quả có thể phụ thuộc vào các máy đang được sử dụng, nhưng nó sẽ không được 1100. Trừ đi 300 từ một số số khác hơn 1100 sẽ không mang lại 800. Các luật kết hợp không giữ. Thứ tự của các hoạt động này là quan trọng.
Một ví dụ khác, hãy xem xét các luật phân phối:
một × (b - c) = a × b - a × c
Hãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho a = 5, b = 210, c = 195. bên trái là 5 × 15, trong đó sản lượng 75. Phía bên tay phải là 75 vì một × b tràn.
Đánh giá từ các ví dụ này, người ta có thể kết luận rằng mặc dù các máy tính là các thiết bị có mục đích chung, chất hữu hạn của họ làm cho họ đặc biệt không thích hợp để làm số học. Kết luận này là, tất nhiên, không đúng sự thật, nhưng nó phục vụ để minh họa cho tầm quan trọng của sự hiểu biết làm thế nào máy tính làm việc và những gì họ có những hạn chế.
A.1 SỐ hữu hạn PRECISION
Trong khi làm số học, người ta thường cho ít suy nghĩ về những câu hỏi có bao nhiêu chữ số thập phân cần thiết để đại diện cho một số. Các nhà vật lý có thể tính toán rằng có 10¬78 điện tử trong vũ trụ mà không bị làm phiền bởi thực tế là nó đòi hỏi 79 chữ số thập phân để viết số đó ra ngoài đầy đủ. Một người nào đó tính giá trị của một hàm với bút chì và giấy ai cần câu trả lời đến sáu chữ số có nghĩa đơn giản là giữ các kết quả trung gian đến bảy hoặc tám, hoặc tuy nhiên nhiều người đang cần. Các vấn đề của bài báo không có bề rộng đủ cho số bảy chữ số không bao giờ xuất hiện.
Với các máy tính, các vấn đề hoàn toàn khác nhau. Trên hầu hết các máy tính, dung lượng bộ nhớ có sẵn để lưu trữ một số lượng cố định tại thời điểm đó các máy tính được thiết kế. Với một số tiền nhất định nỗ lực, các lập trình viên có thể đại diện cho số có hai, hoặc ba, hoặc lớn hơn số tiền cố định này thậm chí nhiều lần, nhưng làm như vậy không thay đổi bản chất của những khó khăn này. Các chất hữu hạn của máy tính bắt buộc chúng ta phải đối phó với các chỉ số có thể được đại diện trong một số cố định của các chữ số. Chúng tôi kêu gọi các số như số hữu hạn chính xác.
Để nghiên cứu tính chất của số hữu hạn độ chính xác, chúng ta hãy xem xét tập các số nguyên dương biểu diễn bằng ba chữ số thập phân, không có dấu thập phân và không có dấu hiệu. Bộ này có chính xác 1000 thành viên: 000, 001, 002, 003, ..., 999. Với sự hạn chế này, nó là không thể bày tỏ một số loại số, chẳng hạn như
1. Số lớn hơn 999.
2. Số âm.
3. Phân số.
4. Số vô tỉ.
5. Số phức.
Một đặc tính quan trọng của số học trên các thiết lập của tất cả các số nguyên là đóng cửa đối với các hoạt động của cộng, trừ, và nhân với. Nói cách khác, đối với tất cả các cặp số nguyên i và j, I + j, i - j, và i × j cũng là số nguyên. Tập hợp các số nguyên không được đóng đối với bộ phận với, bởi vì có tồn tại các giá trị của i và j mà i / j là không thể diễn tả như là một số nguyên (ví dụ, 7/2 và 1/0).
số hữu hạn có độ chính xác không đóng lại : Đối với một trong bốn hoạt động cơ bản, như hình dưới đây, sử dụng số thập phân ba chữ số là một ví dụ với
600 600 = 1200 (quá lớn)
005 = -2 (âm) - 003
050 × 050 = 2500 (quá lớn )
007/002 = 3,5 (không phải là một số nguyên)
Các hành vi vi phạm có thể được chia thành hai loại trừ lẫn nhau: hoạt động có kết quả là lớn hơn so với con số lớn nhất trong tập hợp (lỗi tràn bộ nhớ) hoặc nhỏ hơn số nhỏ nhất trong tập (underflow lỗi ), và các hoạt động có kết quả là không quá lớn cũng không quá nhỏ, nhưng chỉ đơn giản là không phải là một thành viên của bộ này. Trong bốn hành vi vi phạm nêu trên, ba đầu tiên là những ví dụ của các cựu, và thứ tư là một ví dụ về sau.
Vì các máy tính có những kỷ niệm hữu hạn và do đó phải thực hiện các phép tính số học cần thiết về số hữu hạn chính xác, kết quả tính toán nhất định sẽ có , từ quan điểm của toán học cổ điển, chỉ là đồng bằng sai. Một thiết bị tính toán cung cấp cho câu trả lời sai mặc dù nó đang ở trong tình trạng hoạt động hoàn hảo có thể xuất hiện kỳ lạ lúc đầu, nhưng lỗi là một hệ quả logic của chất hữu hạn của nó. Một số máy tính có phần cứng đặc biệt có thể phát hiện lỗi tràn bộ nhớ. Các đại số của số hữu hạn chính xác là khác nhau từ các đại số bình thường. Như một ví dụ, hãy xem xét các luật kết hợp:
a + (b - c) = (a + b) - c
Hãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho a = 700, b = 400, c = 300. Để tính toán phía bên tay trái, tính toán đầu tiên (b - c), mà là 100, và sau đó thêm số tiền này cho một, năng suất 800. Để tính toán phía bên tay phải, tính toán đầu tiên (a + b), trong đó cung cấp cho một tràn trong số học hữu hạn của ba số nguyên chữ số. Kết quả có thể phụ thuộc vào các máy đang được sử dụng, nhưng nó sẽ không được 1100. Trừ đi 300 từ một số số khác hơn 1100 sẽ không mang lại 800. Các luật kết hợp không giữ. Thứ tự của các hoạt động này là quan trọng.
Một ví dụ khác, hãy xem xét các luật phân phối:
một × (b - c) = a × b - a × c
Hãy để chúng tôi đánh giá cả hai bên cho a = 5, b = 210, c = 195. bên trái là 5 × 15, trong đó sản lượng 75. Phía bên tay phải là 75 vì một × b tràn.
Đánh giá từ các ví dụ này, người ta có thể kết luận rằng mặc dù các máy tính là các thiết bị có mục đích chung, chất hữu hạn của họ làm cho họ đặc biệt không thích hợp để làm số học. Kết luận này là, tất nhiên, không đúng sự thật, nhưng nó phục vụ để minh họa cho tầm quan trọng của sự hiểu biết làm thế nào máy tính làm việc và những gì họ có những hạn chế.
đang được dịch, vui lòng đợi..
Các ngôn ngữ khác
Hỗ trợ công cụ dịch thuật: Albania, Amharic, Anh, Armenia, Azerbaijan, Ba Lan, Ba Tư, Bantu, Basque, Belarus, Bengal, Bosnia, Bulgaria, Bồ Đào Nha, Catalan, Cebuano, Chichewa, Corsi, Creole (Haiti), Croatia, Do Thái, Estonia, Filipino, Frisia, Gael Scotland, Galicia, George, Gujarat, Hausa, Hawaii, Hindi, Hmong, Hungary, Hy Lạp, Hà Lan, Hà Lan (Nam Phi), Hàn, Iceland, Igbo, Ireland, Java, Kannada, Kazakh, Khmer, Kinyarwanda, Klingon, Kurd, Kyrgyz, Latinh, Latvia, Litva, Luxembourg, Lào, Macedonia, Malagasy, Malayalam, Malta, Maori, Marathi, Myanmar, Mã Lai, Mông Cổ, Na Uy, Nepal, Nga, Nhật, Odia (Oriya), Pashto, Pháp, Phát hiện ngôn ngữ, Phần Lan, Punjab, Quốc tế ngữ, Rumani, Samoa, Serbia, Sesotho, Shona, Sindhi, Sinhala, Slovak, Slovenia, Somali, Sunda, Swahili, Séc, Tajik, Tamil, Tatar, Telugu, Thái, Thổ Nhĩ Kỳ, Thụy Điển, Tiếng Indonesia, Tiếng Ý, Trung, Trung (Phồn thể), Turkmen, Tây Ban Nha, Ukraina, Urdu, Uyghur, Uzbek, Việt, Xứ Wales, Yiddish, Yoruba, Zulu, Đan Mạch, Đức, Ả Rập, dịch ngôn ngữ.
- supervisor
- Thank you my friend you are baeutiful gi
- toi di mua rau
- tôi thỉnh thoảng đi cà phê một mình
- increase book issued
- manager
- dormitory
- Dia sangat cantik
- date of issue
- Tôi thích đi du lịch
- Hãy cho tôi biết nếu bạn quan tâm tham g
- tôi đi học
- the job fair held in the city center las
- tôi đã từng đi học trung hoc
- 克里姆林
- And gifl for me
- assistant manager
- Tôi là một người thích đi du lịch
- And gifl for me
- Hãy cho tôi biết nếu bạn quan tâm việc t
- chị cũng rất đẹp
- volunteer work in Kenya for a yeargot ,'
- tôi thỉnh thoảng đicà phê một mình
- Inquiry For Membership
